Całki potrójne

oluszek7 · Post autor: **oluszek7** » 5 maja 2009, o 21:35

obliczyc objętość bryły ograniczonej powierzchniami
\(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} =4, x+y=2, z=0, y=0, z \ge 0, y \ge 0}\)
Narysowałam tę powierzchnię, to walec przecięty płaszczyzną równoległą go osi z, mam problem z dobraniem wspołrzednych (walcowe?) Proszę o pomoc bo jutro moja wiedza będzie sprawdzana

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 5 maja 2009, o 21:55

Wychodzi mi, że to walec nieograniczony od góry - jakiś błąd w treści?

Pozdrawiam.

oluszek7 · Post autor: **oluszek7** » 5 maja 2009, o 22:00

no własnie... chyba zle polecenie, a gdyby była płaszczyzna z=np. 1 ograniczająca to jak wtedy to obliczyć?

6hokage · Post autor: **6hokage** » 5 maja 2009, o 22:16

Cóż, ja jestem w tej tematyce poczatkujący, ale wydaje mi się że podstawa tej bryły to trójkąt prostokątny i ćwiartka koła. Pierwszy obszar robimy bezproblemu bo to obszar normalny, drugi załatwiamy przekształceniem biegunowym. Funkcja podcałkowa to po prostu 1, bo tego trójkąto walca przykrywa płaszczyzna z=1.

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 5 maja 2009, o 22:23

Tak jak pisałaś, współrzędne walcowe x=rcost, y=rsint, z=z, J=r.

Dość prawdopodobne jest, że mialo być x+y=z, a nie x+y=2. Wtedy to ogranicza powierzchnię od góry, a rzutem na płaszczyznę jest wycinek koła - pierwsza ćwiartka i polowa drugiej (bo y jest nieujemny i z też.)
a wtedy parametryzacja wygląda tak:

\(\displaystyle{ 0\le r\le 2,\ 0\le t\le \frac{3\pi}{4},\ 0\le z\le rcost+rsint}\)

Podstawiasz do całki i masz.

Pozdrawiam.

PS jeśli ograniczenia są takie jak pisałaś plus z=1, to są dwa obszary.