1. Oblicz nieskierowane całki krzywoliniowe:
a) \(\displaystyle{ \int_{L}^{} (x+y) dl}\) , gdzie L jest obwodem trójkąta o wierzchołkach \(\displaystyle{ A(0, 0), B(1, 0), C(0, 1)}\).
b) \(\displaystyle{ \int_{L}^{} {x}^{2} ydl}\), gdzie L jest górna częścią okręgu \(\displaystyle{ {x}^{2} + {y}^{2} = {a}^{2}}\) zawarta pomiędzy punktami \(\displaystyle{ A(a,0) i B(0,−a), a > 0}\).
2. Obliczyc niezorientowane całki powierzchniowe
a) \(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{S}^{} (6x + 4y + 3z) dS}\), gdzie S - część płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi : x + 2y + 3z = 6}\)
połozona w pierwszej ósemce 3-wymiarowego układu współrzędnych kartezjańskich. Odp. \(\displaystyle{ 54 \sqrt{14}}\)
b) \(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{S}^{} 8-2z dS}\), gdzie S : \(\displaystyle{ z = 4 - \frac{1}{2} {x}^{2} - \frac{1}{2} {y}^{2}}\) dla \(\displaystyle{ z \geq 0}\). Odp. \(\displaystyle{ \frac{1192}{15}}\).
3. Obliczyc strumien pola wektorowego \(\displaystyle{ [x, y, 0]}\) przez powierzchnie sfery S : \(\displaystyle{ {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}, a> 0}\), w kierunku normalnej zewnętrznej. Wynik otrzymany w rezultacie obliczenia (niezorientowanej) całki powierzchniowej porównać z wynikiem otrzymanym z pomoca twierdzenia Gaussa. Odp. \(\displaystyle{ \frac{8}{3} \pi {a}^{3}}\).