[Stereometria] Udowodnić daną zależność w czworoscianie

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 5 maja 2009, o 00:40

Dany jest czworościan ABCD o krawędziach długości: |BC|=a, |AC|=b, |AB|=c, |AD|=d, |BD|=e, |CD|=f. Punkt S jest środkiem ciężkości trójkąta ABC. Dowieść, że:

Gierol · Post autor: **Gierol** » 5 maja 2009, o 07:46

rzuce taka podpowiedz :
\(\displaystyle{ A=(0,0,0);B=(x_{b},0,0);C=(x_{c},y_{c},0);D=(x_{d},y_{d},x_{d})}\)

damian1910 · Post autor: **damian1910** » 5 maja 2009, o 07:58

ej jak się pisze posty ??

mnij · Post autor: **mnij** » 5 maja 2009, o 12:04

damian1910 pisze:ej jak się pisze posty ??

hahahahahahahha już 2 człowiek dziś na tym forum daje mi powody do śmiechu miłe zaskoczenie

XMaS11 · Post autor: **XMaS11** » 5 maja 2009, o 12:05

damian1910 pisze:ej jak się pisze posty ??

Proszę, litości...

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 5 maja 2009, o 14:29

Gierol nie za bardzo rozumiem. Mam to rozpatrywac w trjwymiarowej przestrzeni xyz ? Poza tym dlaczego punkt D ma dwie współrzędne takie same ?

Rush · Post autor: **Rush** » 5 maja 2009, o 14:34

Gierol zasugerowal by to policzyc analitycznie co oczywiscie jest dobra sugestia patrzac na to jaka masz rownosc do udowodnienia.

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 5 maja 2009, o 15:20

W jaki sposób? Coś nie widzę tego zadania...

timon92 · Post autor: **timon92** » 5 maja 2009, o 15:55

Można też tak:
\(\displaystyle{ \vec{DS} = \frac{1}{3} \cdot ( \vec{d} + \vec{e} + \vec{f})}\), gdyż S jest środkiem ciężkości trójkąta ABC
Teraz przekształcę prawą stronę:
\(\displaystyle{ ... = \frac{1}{3} \sqrt{3 \vec{d} ^2 + 3 \vec{e} ^2 + 3 \vec{f} ^2 - | \vec{AB} |^2 - | \vec{BC} |^2 - | \vec{CA} |^2 } = \frac{1}{3} \sqrt{3 \vec{d} ^2 + 3 \vec{e} ^2 + 3 \vec{f} ^2 - ( \vec{d} - \vec{e} )^2 - ( \vec{e} - \vec{f} )^2 - ( \vec{f} - \vec{d} )^2 } = \frac{1}{3} \sqrt{3 \vec{d} ^2 + 3 \vec{e} ^2 + 3 \vec{f} ^2 - \vec{d}^2 + 2 \vec{d}\vec{e} - \vec{e}^2 - \vec{e}^2 + 2 \vec{e}\vec{f} - \vec{f}^2 - \vec{f}^2 + 2 \vec{f}\vec{d} - \vec{d}^2 } = \frac{1}{3} \sqrt{\vec{d} ^2 + \vec{e} ^2 + \vec{f} ^2 + 2 \vec{d}\vec{e} + 2 \vec{e}\vec{f} + 2 \vec{f}\vec{d} } = \frac{1}{3} \sqrt{(\vec{d} + \vec{e} + \vec{f})^2 } = \frac{1}{3} \cdot \left| \vec{d} + \vec{e} + \vec{f} \right|}\)
czyli \(\displaystyle{ L=P}\)

misiek35 · Post autor: **misiek35** » 28 sie 2011, o 21:06

Można to też zrobić korzystając z tw. cosinusów. Niech \(\displaystyle{ m1}\) oznacza długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka D w trójkącie ABD. Korzystając dwa razy z tw. cosinusów mamy:

\(\displaystyle{ m1 ^{2}=1/2*d ^{2}-1/4*c ^{2}+1/2*e ^{2}}\)

Postępując analogicznie w trójkącie ABC i oznaczając przez \(\displaystyle{ m2}\) długość środkowej z wierzchołka C mamy:

\(\displaystyle{ m2 ^{2}=1/2*b ^{2} -1/4*c ^{2}+1/2*a ^{2}}\).

Rozpatrując trójkąt EDC, gdzie E to środek AB i uwzględniając, że S to środek ciężkości, który dzieli odcinek EC w stosunku \(\displaystyle{ 2:1}\), korzystając dwa razy z tw. cosinusów mamy:

\(\displaystyle{ DS ^{2}=2/3*m1 ^{2}-2/9*m2 ^{2}+1/3*f ^{2}}\).

Podstawiając pod \(\displaystyle{ m1 ^{2}}\) i \(\displaystyle{ m2 ^{2}}\) wartości wcześniej otrzymane mamy:

\(\displaystyle{ SD=1/3* \sqrt{3*d ^{2}+3*e ^{2}+3*f ^{2}-a ^{2}-b ^{2}-c ^{2}}}\).

Co należało dowieść.