Całka nieoznaczona

[MCV]

(potrzebna do rozwiązania równania różniczkowego )

\(\displaystyle{ \int \frac{ x^{5}+2 }{ x^{3}-1 }dx}\)

hm rozbijam mianownik ze wzoru skróconego mnożenia,ale nic mi to nie daje chyba
za mianownik podstawiam nową zmienną, też mi nic ciekawego nie wychodzi

hmm

[jarzabek89]

Najpierw dzielimy licznik przez mianownik, następnie rozkład na ułamki proste.

[MCV]

hm nie wiem czy dobrze zrobiłem

\(\displaystyle{ ( x^{5} + 2 ) : (x^{3} - 1 ) = x^{2} + \frac{ x^{2}+2}{x^{3} - 1} }\)
i potem
\(\displaystyle{ \int x^{2} dx= \frac{ x^{3} }{3} +C}\)
\(\displaystyle{ \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{ x^{2}+x+1 }}\)

[robson161]

jeśli dobrze jest podzielone to reszta jak najbardziej na miejscu

[MCV]

o matko co za zadanie


\(\displaystyle{ \frac{ x^{2}+2}{ x^{3}-1 } = \frac{ x^{2}+2}{(x-1)( x^{2}+x+1) }= \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^{2}+x+1 }}\)

\(\displaystyle{ x^{2} +2 = A(x^{2}+x+1)+(Bx+C)(x-1)}\)
podstawiając x=1

\(\displaystyle{ 3=3A, A=1}\)

podstawiając x=0
\(\displaystyle{ 2=A+C(0-1)
2=1-C
1= -C
C= -1}\)

Natomiast nie mam pojęcia jak obliczyć B:
podstawiam to ogólnego równania z A, B,C znane wartości:
A=1
C=-1
i mi wychodzi, że B może być 1 lub 0

jeżeli B=1
to

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{ x^{2}+x+1 }}\)
gdzie licznik nie jest pochodną mianownika, a wydawałoby się że powinien być

ps. chociaż jak się zmieni lekko postać licznika na

\(\displaystyle{ \int \frac{x-1}{ x^{2}+x+1 } dx= \frac{1}{2} \int \frac{2(x-1)}{x^{2}+x+1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-2}{x^{2}+x+1}dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+1}{x^{2}+x+1}dx-3 \int \frac{dx}{x^{2}+x+1}= \frac{1}{2} ln |x^{2}+x+1|- 3 \int \frac{dx}{x^{2}+x+1}}\)

tą całkę drugą zrobić podstawiając za mianownik zmienną t ?

[jarzabek89]

W ogóle co to za podstawianie za x 1, 0 itd. Sprowadzasz do wspólnego mianownika i wyliczasz A,B i C, porównując do tego z czego wyszedłeś.

[MCV]

jarząbek
tak mnie uczono
że podstawia się takie x do równania, aby zerowały się współczynniki

np
1=A(x-2)+B(x+3)

podstawiając pkt x=2 , a potem x=3
wyliczymy odpowiednio B a potem A

[Mariusz M]

Można rozwiązać układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B=1 \\ A-B+C=0 \\ A-C=2 \end{cases}}\)