Zbadaj zbieżność szeregu+pytania?

Kaszim · Post autor: **Kaszim** » 22 lis 2005, o 17:54

Zbadaj zbieżność szeregu:

\(\displaystyle{ \bigsum_{n=1}^{\infty}\frac{n\cdot 5^{n}}{2^{n}\cdot3^{n+1}}}\)

zastosowałem tutaj kryterium Cauchy'ego

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt[n]{n}\cdot\sqrt[n]{5^{n}}}{\sqrt[n]{2^{n}}\cdot\sqrt[n]{3\cdot3^{n}}}}\)

co dalej można z tym zrobić albo z innego kryterium moze??

jeszcze mam pytania:

jak inaczej zapisać \(\displaystyle{ (2n)!}\)

jeśli mamy iloczyn dwóch szeregów(jeden naprzemienny drugi zwykły) i chcemy zbadać jego zbieżność to jak wtedy postępujemy???

Mbach · Post autor: **Mbach** » 22 lis 2005, o 17:59

no to teraz onbliczasz granice drugiego wyrażenia wyrażenia gdy n dąży do nieskończoności i opierasz się na wsześniej uzyskanych krysteriach. Jeśli ta granica jest większa od 1 to szereg jeset rozbieżny, gdy mniejsza oid jedności jest zbieżny.

Ta granica to 5/6 więc jest zbieżny szereg zbufowany z wyrazów ciągu a_n

2. To badamy zbieżność bezwzględną chyba lub korzystamy z twierdzeń: szereg naprzemienny jest zbieżny. Iloczyn szeregu zbieżnego przez zbieżny jest... zbieżny zbieżnego przez rozbieżny jest rozbieżny.

Kaszim · Post autor: **Kaszim** » 22 lis 2005, o 18:12

hmmm ale tam otrzymujemy coś takiego:

\(\displaystyle{ \frac{5}{2\cdot3\cdot\sqrt[n]{3}}}\)

Według Ciebie \(\displaystyle{ \sqrt[n]{3}=1}\) tak??

Mbach · Post autor: **Mbach** » 22 lis 2005, o 18:15

tak, masz jakieś wątpliwości ?

Kaszim · Post autor: **Kaszim** » 22 lis 2005, o 18:20

nie sprawdziłem w tablicach, wszystko w porządku

Cod · Post autor: **Cod** » 22 lis 2005, o 19:24

Można łatwo udowodnić, że

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3}=1}\)

poprzez poniższe przekształcenie:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{3}=3^{\frac{1}{n}}=e^{ln3^{\frac{1}{n}}}=e^{\frac{1}{n}ln3}\rightarrow 1}\)