Zbieżność szeregu

[Cod]

Mam do zbadania szereg \(\displaystyle{ \bigsum_{n=0}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}\). Próbowałem użyć kryterium d'Alamberta, ale wyszło 1. Próbowałem również kryterium pierwiastkowego Cauchy'ego, ale tu też wyszło mi 1. Próby z kryterium Raabego miały podobny efekt. Próbowałem jeszcze stosować kryterium porównawcze, drugie kryterium porównawcze oraz asymptotyczne kryterium porównawcze. Za każdym razem nie mogłem znaleźć odpowiedniego szeregu do szacowania. Wydaje mi się, że badany szereg jest rozbieżny, ale to tylko domysły. Help!

[Fibik]

Mnożysz i dzielisz to przez sumę takich pierwiastków a otrzymasz:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}} = \frac{1}{2\sqrt{n+1}}}\)

Suma takich pierwiastków jest rozbieżna jeszcze szybciej niż suma 1/n - wiemy że,
szeregi postaci \(\displaystyle{ n^{-q}}\) są rozbieżne dla q 1.

[Cod]

Jakie to proste. Dziękuję.

[g]

omfg... jak wy kombinujecie... \(\displaystyle{ \sqrt{1} - \sqrt{0} + \sqrt{2} - \sqrt{1} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{4} + ...}\). i teraz jak sie przyjrzycie jakiemus wyrazowi, co ma plusa z przodu, to sie przyjrzyjcie wyrazowi, co jest o 3 miejsca dalej...

[Cod]

omfg... jak wy kombinujecie... \(\displaystyle{ \sqrt{1} - \sqrt{0} + \sqrt{2} - \sqrt{1} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{4} + ...}\). i teraz jak sie przyjrzycie jakiemus wyrazowi, co ma plusa z przodu, to sie przyjrzyjcie wyrazowi, co jest o 3 miejsca dalej...

Mógłbyś podać wniosek z tego, co tu napisałeś?

[g]

rozbieznosc tego szeregu?

[Cod]

Jakoś tak patrząc na te wyrazy, nie widzę tego. Mógłbyś wytłumaczyć łopatologicznie, jak stąd widać rozbieżność? Rozwiązanie Fibika jest dla mnie proste i zrozumiałe, ale chciałbym potrafić spoglądać na zagadnienia tego typu z Twojej strony.

[g]

to moze inaczej. \(\displaystyle{ \sum(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = - \sum (\sqrt{n} - \sqrt{n+1}) = - (\sqrt0 - \sqrt1 + \sqrt1 - \sqrt2 + \sqrt2 - \sqrt3 + \sqrt3 - \sqrt4 + ...) = - (\sqrt0 + (-\sqrt1 + \sqrt1) + (-\sqrt2 + \sqrt2) + (-\sqrt3 + \sqrt3) - \sqrt4 + ...)}\)
mam pisac dalej?

[Cod]

Nadal nie widzę, jak z tego można zobaczyć rozbieżność... Po zsumowaniu wszystkich nawiasów wychodzi 0. Czemu wnioskiem z tego jest rozbieżność?

[Fibik]

Pewnie chodzi o to, że tam na końcu coś zostaje, czyli taka suma jest równa: \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}}\)