[MIX][Teoria liczb] Zestaw od Iwana

[tomalla]

Hmm ... chyba już załapałem ... czyli dostaję plusa za dobre chęci W takim razie czekam na poprawne rozwiązanie zadania

Dumel, śmietnik z tego zdecydowanie się nie robi - wszystkie posty ( jak dotąd ) dotyczą tych zadań i ich rozwiązań. A jeżeli któryś z moderatorów uważa tak jak Dumel, to niech rozdzieli temat, jeżeli jest możliwe, na dwa osobne i po sprawie.

Tomalla

[taka_jedna]

Zadanie 5. Przepraszam za nieścisłość, ale to tylko próba poprowadzenia dowodu inaczej niż mnie w szkole uczyli. Wszelkie sugestie, uwagi mile widziane.
Fakt powszechnie znany*- gdy zamalujemy wyrazy nieparzyste w trójkącie Pascala, otrzymujemy trójkąt Sierpińskiego. Rozważmy trójkąty równoboczne utworzone przez pokolorowane jedynki i cały poziomy rząd liczb. Widać pewną regularność(która wynika bezpośrednio z konstrukcji trójkąta Sierpińskiego lub z tego, że to fraktal - ja się na tym nie znam). Najmniejszy taki trójkąt ma bok długości 4 (jeśli za długość weźmiemy ilość pokolorowanych liczb), potem 8, 16 itd...Stąd łatwo przeskoczyć do tezy - cały pokolorowany poziomy rząd liczb(jeśli rzędy numerujemy od ) ma numer postaci \(\displaystyle{ 2^{k}-1}\). Oczywiście trzeba jeszcze uwzględnić rząd 0 i 1.

*niestety, nie potrafię znaleźć w necie dowodu, choć wydaje się banalny-jeśli dysponujecie linkiem do niego, proszę, podzielcie się nim ze mną

[tomalla]

W zadaniu 7. wyszły mi wyniki:

\(\displaystyle{ x=\frac{143m-75}{35}\\y=\frac{143n+62}{7}}\)

... gdzie m i n to dowolna stała. Może chociaż ten przykład dobrze zrobiłem ... ?

[ojciec_kogut]

Tylko, że x i y w tym przypadku jak rozwiązałeś w ogólności nie są całkowite.

[tomalla]

Tylko, że x i y w tym przypadku jak rozwiązałeś w ogólności nie są całkowite.

... a muszą być?

[Swistak]

Zadanie 3 jest trochę niedoprecyzowane. Trzeba się trochę domyslić.
p musi być liczbą pierwszą (np. \(\displaystyle{ 3^{2}+1\equiv 0 (\bmod 10)}\)) i w dodatku większą od \(\displaystyle{ 2}\) (\(\displaystyle{ 1^{2}+1\equiv 0 (\bmod 2)}\)).
@UP No ogólnie te zadania są niedoprecyzowane jak widać .

[ojciec_kogut]

Tylko, że x i y w tym przypadku jak rozwiązałeś w ogólności nie są całkowite.

... a muszą być?

Sprawdz sobie czy te wyrazenia po lewej stronie rownan beda zawsze calkowite, mnie sie wydaje ze chyba nie zawsze. Ale być może się myle.

[tomalla]

Jak po lewej stronie kongruencji będzie ułamek, to wystarczy pomnożyć obustronnie przez mianownik ... według zasady mnożenia kongruencji.

[ojciec_kogut]

Wiesz, od kiedy ułamki dzielą się przez liczby całkowite? ;p

a w ogóle to x i y sa postaci:

\(\displaystyle{ 143t + k}\) i \(\displaystyle{ k \in [0,1,2,...,142]}\)
oraz k nie jest w ogolnosci takie same dla x i y.

[frej]

7. Górne mnożymy przez \(\displaystyle{ 2}\), dolne przez \(\displaystyle{ 3}\), odejmujemy i mamy

\(\displaystyle{ 35y \equiv 119\pmod{143}}\)

zgodnie z algorytmem Euklidesa znajdujemy element odwrotny \(\displaystyle{ 35^{-1}}\) i otrzymujemy resztę z dzielenia \(\displaystyle{ y}\), potem mamy kongruencję jednej zmiennej stopnia pierwszego, odejmujemy jedno równanie od drugiego i mamy wynik.

[ojciec_kogut]

Ukryta treść:    

[pawelsuz]

16b) \(\displaystyle{ 8x^4 + 7x^3 + 8x^2 + 7x}\)

-- 2 maja 2009, 20:22 --

12.

\(\displaystyle{ \left( \frac{219}{383} \right)= \left( \frac{3}{383} \right) \left( \frac{73}{383} \right) = - \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{18}{73} \right) = \left( \frac{3}{73} \right)^2 \left( \frac{2}{73} \right)= (-1)^\frac{73^2-1}{8}=1}\)

Czyli jest resztą kwadratową.

Frej, mógłbyś wyjaśnić trzecią równość? Będę bardzo wdzięczny...

[frej]

\(\displaystyle{ 2}\) jest nieresztą \(\displaystyle{ \pmod{3}}\) + rozwinięcie kanoniczne liczby \(\displaystyle{ 18}\)-- 3 maja 2009, 18:39 --17. Wystarczy obliczyć reszty \(\displaystyle{ 0,1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2}\)

[pawelsuz]

Dzięki!

[mol_ksiazkowy]

ad 22 szkic

Ukryta treść:    

Niech p>2 Jesli \(\displaystyle{ p2^n +1 =(2k+1)^2}\) to \(\displaystyle{ p2^{n-2}= k(k+1)}\) co znaczy ze
\(\displaystyle{ p+1=2^{n-2}}\) lub \(\displaystyle{ p-1=2^{n-2}}\)

istnieją dokładnie dwie takie liczby
dla p=3