obliczanie pola obszaru- problem z kątem

[Vermax]

Powiedzmy dla uproszczenia, że mam okrąg:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=4}\)
I teraz mam obliczyć pole tylko części znajdującej się na lewo od osi OY. Załóżmy też, że przechodze sobie na biegunowe i liczę to używając całki podwójnej. I teraz moje pytanie: czy kąt po którym będę całkował mogę wybierać dowolnie? Wiem, że jest niby reguła, że mierzy w tym przypadku powinno to być od \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{ 2}}\) do \(\displaystyle{ \frac{ 3\pi }{ 2}}\), ale czy mogę np. wybrać kąt powiedzmy od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \pi}\) lub \(\displaystyle{ \frac{- \pi }{ 2}}\) do \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{ 2}}\). Wychodzi to samo, ale czy można tak zrobić?

[belferkaijuz]

Kąt ,po którym całkujesz to kąt ,który otrzymujesz gdy "omiatasz " promieniem obszar całkowania.

[Vermax]

No też mi się tak zdaje właśnie, bo co za różnica odkąd zaczne go mierzyć... Dzięki.

[Vermax]

Jednak nie całkiem. Trzymając się reguły podanej wyżej unika się np. zmiany znaków przy f. trygonometrycznych w nowych granicach całkowania itp.

[luka52]

Jeżeli przez przejście do wsp. biegunowych rozumieć standardowe podstawienie nowych zmiennych: \(\displaystyle{ (r, \varphi) \to (x,y) = (r \cos \varphi , r \sin \varphi )}\), to nie ma siły, ale jedynie pierwszy przedział zmian kata \(\displaystyle{ \varphi}\) odpowiada kątom, które pozwalają całkować po wspomnianym kole (jego części).
To, że w tym przypadku dowolne dwie wartości kątów \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\), takie że: \(\displaystyle{ \beta - \alpha = \pi}\) dają dobry wynik to tylko zbieg okoliczności.
Drugie i trzecie zakresy zmian kąta odpowiadały by połówce koła lężącej w (odpowiednio): I i II ćwiartce, IV i I a przecież chodzi nam o połówkę z II i III ćwiartki.

[Vermax]

Tak jest, dzięki za fachowy komentarz

Mógłbyś zerknąć na mój post z Deltą Diraca? Bawię się elektro-magnetyzmem teraz i jakoś nie lubię tak używać czegoś co nie wiem do końca skąd się bierze