Prawdopodobieństwo z wartością bewzględną

[cackok]

Ze zbioru 1,2,3,...n losujemy bez zwracania parę liczb (a, b). Dla jakich n
prawdopodobieństwo wylosowania pary spełniającej warunek |a-b|\(\displaystyle{ \ge 3}\) jest większe
od \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) ?

[lina2002]

\(\displaystyle{ \overline {\overline \Omega}=n(n-1)}\) Załóżmy na razie, że \(\displaystyle{ a>b}\). Zróbmy zdarzenie przeciwne \(\displaystyle{ A'}\): \(\displaystyle{ |a-b|<3}\), czyli \(\displaystyle{ a-b<3}\), \(\displaystyle{ a-b=1}\) lub \(\displaystyle{ a-b=2}\) 1. \(\displaystyle{ a=b+1}\) Mamy \(\displaystyle{ n-1}\) takich par: \(\displaystyle{ (2,1), (3,2), ... (n,n-1)}\). 2. \(\displaystyle{ a=b+2}\) Mamy \(\displaystyle{ n-2}\) takich par: \(\displaystyle{ (3,1), (4,2), (n,n-2)}\) Tyle samo będzie dla przypadku \(\displaystyle{ a<b}\). Tak więc \(\displaystyle{ \overline {\overline A}=2(n-1+n-2)=2(2n-3)}\). Dalej policz \(\displaystyle{ P(A)}\) i ułóż nierówność.

Pozdrawiam .