Ciag geometryczny a przekatne w graniastoslupie

[roXXo]

W graniastoslupie prawidlowym czworokatnym dlgosc krawedzi bocznej jest "k" razy wieksza od dlugosci krawedzi podstawy. Wyznacz wszystkie wartosci "k" dla ktorych dlugosci: krawedzi podstawy, przekatnej podstawy i przekatnej graniastoslupa sa kolejnymi wyrazami ciagu geometrycznego.

[Jerzy_q]

Połóżmy \(\displaystyle{ x}\) - bok podstawy, \(\displaystyle{ x \sqrt{2}}\) - przekątna podstawy, \(\displaystyle{ kx}\) - wysokość ściany bocznej. Wtedy przekątna graniastosłupa to \(\displaystyle{ \sqrt{k^2 x^2+2x^2}=\sqrt{x^2 (k^2+2)}=x\sqrt{k^2+2}}\), a podstawy \(\displaystyle{ x\sqrt{2}}\). Musi zachodzić \(\displaystyle{ \frac{x\sqrt{k^2+2}}{x\sqrt{2}}=\frac{x\sqrt{2}}{x}}\). Mnożąc na krzyż mamy \(\displaystyle{ x^2 \sqrt{k^2+2}=2x^2}\) czyli \(\displaystyle{ \sqrt{k^2+2}=2 \Rightarrow \boxed{k=\sqrt{2}}.}\)