ciag arytmetyczny, suma

[iga2106]

Liczby \(\displaystyle{ a_{1},a_{2}, a_{3},..., a_{n}}\) są wyrazami ciągu arytmetycznego takimi, że \(\displaystyle{ a_{1}=a}\) i \(\displaystyle{ a_{n}=b}\). Wyraź w zależności od a, b, n sumę \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{ a_{1} }+ \sqrt{ a_{2} } } + \frac{1}{ \sqrt{ a_{2} }+ \sqrt{ a_{3} } }...+ \frac{1}{ \sqrt{ a_{n-1} }+ \sqrt{ a_{n} } }}\)

[klaustrofob]

wskazówka: usuń niewymierność z mianownika.

[iga2106]

usunęłam niewymierność ale nie wiem co dalej...

[klaustrofob]

hmm... powinnaś otrzymać takie coś:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{ a_{1} }+ \sqrt{ a_{2} } } + \frac{1}{ \sqrt{ a_{2} }+ \sqrt{ a_{3} } }...+ \frac{1}{ \sqrt{ a_{n-1} }+ \sqrt{ a_{n} } }=\frac{\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}}{ a_{2}-a_1 } + \frac{\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2}}{ a_{3}-a_2 } +\ldots+\frac{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}}}{ a_{n}-a_{n-1 }}}\)
w mianownikach masz r, w licznikach wzajemnie redukujące się pary, które dają \(\displaystyle{ \sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}}\). wystarczy wyznaczyć r w zależności od a, b, n.