Ciągi geometryczne

[koper21]

Witam

Mam problem z zadaniem z ciągu geometrycznego:,,Które z podanych ciągów są ciągami geometrycznymi?". Prubowałem wyliczyć z wzory \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}}\) i policzyć \(\displaystyle{ q_{1}= \frac{a_{2}}{a_{1}} , q_{2}=\frac{a_{3}}{a_{2}}}\) ale wynik zły wychodzi z rozwiązaniem. Na lekcji robiliśmy sposobem \(\displaystyle{ q= \frac{a_{1}}{a_{n-1}}}\), lecz jest to dla mnie za trudno i proszę o pomoc.
przykłady:
\(\displaystyle{ b_{n}= \frac{2}{11^{n}}}\)
\(\displaystyle{ c_{n}= 2^{n}*7^{n+2}}\)
\(\displaystyle{ d_{n}=3*5^{n-3}}\)
\(\displaystyle{ e_{n}=6n^{2}}\)

pozdrawiam

[agniecha_iksde]

\(\displaystyle{ \frac{b_{n} }{b_{n-1}} = \frac{ \frac{2}{11^{n}} }{ \frac{2}{11^{n-1}} } = \frac{11^{n-1}}{11^{n}} =1/11=const}\)

<-geometryczny

\(\displaystyle{ \frac{ c_{n} }{ c_{n-1} }= \frac{ 2^{n}* 7^{n+2} }{2^{n-1}* 7^{n+1}}=2*7=14=const}\)

<-geometryczny

\(\displaystyle{ \frac{ d_{n} }{d_{n-1}}= \frac{3* 5^{n-3} }{3* 5^{n-4}}=5=const}\)

<-geometryczny


\(\displaystyle{ \frac{ e_{n} }{e_{n-1}}= \frac{6* n^{2} }{6* (n-1)^{2}}=\frac{n^{2} }{(n-1)^{2}} \neq const}\)

<-niegeometryczny

[koper21]

a możesz bardziej rozpisać, bo za wiele z działań nie rozumiem.

[agniecha_iksde]

no np w podp. b:
dziele wyraz n-ty przez n-1-ty, dwójki się skracają, zostaje \(\displaystyle{ \frac{11^{n-1} }{11^{n}}}\)
no i potem dzielenie potęg czyli odejmujesz wykładniki \(\displaystyle{ 11^{n-1-n}=11^{1}=11}\)

[koper21]

aha, a skąd wiadomą kiedy jest geometryczny? bo tego const także nie rozumiem.

[astuhu]

ciag jest geometryczny wtedy kiedy podzielisz jakis wyraz ciagu przez wyraz o 1 od niego mniejszy(czyli np. wyraz drugi przez pierwszy) i wyjdzie Ci liczba stała (czyli np. 1, 2, 3...) const=stała

[koper21]

to wiem, że ciąg geometryczny jest gdy \(\displaystyle{ q_{1}=q_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ q_{1}= \frac{a_{2}}{a_{1}}}\) i \(\displaystyle{ q_{2}= \frac{a_{3}}{a_{2}}}\), lecz tutaj wychodzi np. 14 i jak to sprawdzić czy const czy nie const?

[astuhu]

no 14 jest liczba stala. Chodzi o to ze obojetnie czy bedziesz dzielil 3 wyraz przez 2, czy 2 przez 1 to zawsze bedziesz otrzymywal to 14.
Ciag jest geometryczny wlasnie wtedy kiedy otrzymujesz jakas liczbę. Jezeli np. otrzymasz jakeis wyrazenie np. 2n+15 to nie jest to stala i wtedy nie jest geometryczny.

[koper21]

oki, łapie, lecz w przykładzie d wyszło mi 15, a nie 5! \(\displaystyle{ 3*5^{1}=15}\)

[astuhu]

trójki ci sie skracają, \(\displaystyle{ 5 ^{n}}\) też
zostaje ci \(\displaystyle{ 5^{-3}}\) na górze i \(\displaystyle{ 5^{-4}}\) na dole
czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{125}}\) razy 625 = 5