Dowod: |a| = sqrt(a^2)

[Niebucz]

Jeśli już wnikamy czy pierwiastek parzysty może być ujemny to może być biorąc pod uwagę liczby zespolone. Jeśli i to liczba zespolona to i^2=-1 więc pierwiastek z liczby zespolonej może być ujemny

[Rogal]

Dasio11, napisałem Ci dlaczego. Teraz musisz to tylko zrozumieć.
Niebucz, możesz tutaj udowodnić, że liczba i jest ujemna? Czy kompletnie nie masz pojęcia, co napisałeś?

[Niebucz]

Poczytaj co to jest liczba zespolona a będziesz miał napisane, że pierwiastek z liczby zespolonej może mieć wartość ujemną.

[Rogal]

A możesz podać przykład liczby zespolonej nierzeczywistej, z której pierwiastek jest liczbą ujemną?

[Dasio11]

Niebuczowi zapewne chodziło o liczbę urojoną \(\displaystyle{ i}\) jako wartość, którą przyjmuje funkcja pierwiastka przy argumencie ujemnym \(\displaystyle{ -1}\). Mi zaś chodzi o to, czy wartość funkcji pierwiastek, która jest przyporządkowana dodatniemu argumentowi, może być ujemna. Z słów Rogala wnioskuję, że nie może być, bo tak się przyjęło. Dobrze? ^^
P.S. W encyklopedii jest napisane, że pierwiastek arytmetyczny musi być nieujemny, ale algebraiczny - może mieć wynik ujemny. Chodzi mi o to, skąd ten podział! Pierwiastek arytmetyczny jest używany w geometrii, gdzie wszystkie wartości są dodatnie? Niech mnie ktoś oświeci :]

[Rogal]

Się robi.
Pierwiastek arytmetyczny to jest funkcja - to słowo jest ważne. Funkcja to taka relacja, przy której element dziedziny ma przypisany dokładnie jeden element przeciwdziedziny. Pamiętasz na pewno w podstawówce się malowało takie zbiory i rysowało strzałeczki i mówiło się, co to jest funkcja a co nie.
Z tej też konieczności należało wybrać, które wartości ma przyjmować funkcja pierwiastek. Przyjęto dodatnie i symbol taki \(\displaystyle{ \sqrt{}\}\) oznacza właśnie tę konkretną funkcję.
W algebrze natomiast (czyli tak naprawdę właśnie w liczbach zespolonych) interesuje nas to, że z danej liczby zespolonej jest tyle różnych pierwiastków ile wynosi stopień pierwiastka. Wtedy jednak się zazwyczaj na początku zaznacza co rozumiemy przez powyższy symbol i jak go traktujemy.
Pouczysz się jeszcze trochę, to Ci się samo w głowie ułoży dlaczego tak jest i już po prostu
Jak coś piszę niejasno, albo inne pytania to pytaj.

[Dasio11]

Moje prawdopodobnie ostatnie pytanie brzmi: Czy to oznacza, że w dowolnym zadaniu, w którym pod pierwiastkiem występuje liczba rzeczywista, wynikiem tego pierwiastkowania musi być liczba dodatnia, bo pierwiastkowanie jest funkcją, a ta przyjmuje dokładnie jedną wartość dla każdego argumentu należącego do dziedziny, jak zrozumiałem? I jeszcze dodatkowe: Czy to oznacza, że funkcją odwrotną do
\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x}}\) jest
\(\displaystyle{ f^{-1}(x)=g(x)= x^2}\) dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\) ?

[Rogal]

Jak pisałem - w dowolnym zadaniu niekoniecznie, bo może być coś z pierwiastkowania liczb zespolonych i tam się to rozumie inaczej. W końcu każda liczba rzeczywista jest liczbą zespoloną i też posiada n-pierwiastków n-tego stopnia.
Co oznacza, że coś jest funkcją odwrotną do danej? To znaczy, że złożenie tych funkcji w obu kolejnościach daje funkcje identyczność. Poczytaj o tym, kiedy funkcję rzeczywistą da się odwrócić, jakie warunki muszą zajść, jakie bywają niuanse. Podam Ci jeden przykład, jako anegdota-pytanie zadane nam na wykładzie ze wstępu do analizy: czy te dwie funkcje są sobie równe, czy też nie i dlaczego?
\(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x) = x^{2}, \quad g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R_{+}}, \ g(x) = x^{2}}\)

[Dasio11]

Wydaje mi się, że funkcja
\(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x) = x^{2}}\) jest bogatsza od tej \(\displaystyle{ \quad g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R_{+}}, \ g(x) = x^{2}}\) o punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\), bo funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) przyjmuje wartości nieujemne, a w tej \(\displaystyle{ \quad g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R_{+}}, \ g(x) = x^{2}}\) rozważamy "tylko" wartości dodatnie.
Jeśli chodzi o poprzednie pytania, chodziło mi takie zadania, gdzie nie ma w ogóle mowy o liczbach zespolonych i nie da rady się ich doszukać ^^ Wtedy pierwiastek może być TYLKO dodatni.

[Rogal]

Od końca - tak.
Zapomniałem dopisać, że dla mnie znaczek \(\displaystyle{ \mathbb{R_{+}}}\) oznacza nieujemne liczby rzeczywiste. Gdyby tam nie było 0 w tym zbiorze to ten przepis nie określałby funkcji, gdyż dla zera nie byłoby żadnej wartości.

[Dasio11]

W taki razie wszystko wskazuje na to, że są równe. Co do Twojego zastrzeżenia, myślałem, że to byłaby funkcja, tyle że nie rozpatrujemy wszystkich jej argumentów.
\(\displaystyle{ \quad g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R_{+}}}\) - skoro ten zapis oznacza, że funkcja \(\displaystyle{ g(x)}\) z założenia (dziedziny, a właściwie przeciwdziedziny) nie przybiera wartości ujemnych, a nie że - czy istnieją czy nie - takowych nie rozpatrujemy, to w takim razie w mojej opinii, funkcje są równe. Małe szanse (przeważnie w takich zagadkach kruczek powoduje odpowiedź negatywną), ale kto wie... Może to wyjątek :]

[Rogal]

Nie są równe, gdyż g jest surjekcją, a f nie .

[Dasio11]

Hm... W sumie tak, ale wykres jest identyczny ^^ No ale wykres to chyba nie wszystkie właściwości funkcji :]
P.S. Czy przypadkiem "suriekcja" nie pisze się przez "i"?
"Słowo suriekcja bywa pisane przez j, co jest błędem. Zasady pisowni polskiej nakazują stosowanie j po innych spółgłoskach niż c, s i z w wypadku, gdy przedrostek jest zakończony spółgłoską, a rdzeń zaczyna się od j; np. podjazd, nadjechał, zjawa czy rozjaśnić. W pozostałych wypadkach pisze się i, a więc poprawnie jest suriekcja oraz iniekcja, niezależnie od wymowy i obcego pochodzenia tych wyrazów."

P.S.2. Czyli jednak \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x) = x^{2}}\) oznacza przedział, w jakim rozpatrujemy funkcję? Bo nie może oznaczać przeciwdziedziny \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), gdyż to nie jest poprawna przeciwdziedzina funkcji \(\displaystyle{ x^2}\).

[Rogal]

TO jest przeciwdziedzina, nie myl tego ze zbiorem wartości. Przeciwdziedzinę deklarujesz sam, tak jak i dziedzinę, co wcale nie musi oznaczać, że zadeklarowałeś maksymalną możliwą dziedzinę, czy akurat trafiłeś z przeciwdziedziną w zbiór wartości konkretnej funkcji.
Co do kwestii literki "i" bądź "j", to jak napiszesz "bijekcja"?
Poza tym zdanie "językoznawców" mnie nie interesuje - słowo przyszło z francuskiego i tak jest wszędzie pisane. Poza tym jest to przecież zlepek dwóch słów, a nie można w polskim napisać "iekcja", tylko raczej "jekcja" i dodawać przedrostek.

[Dasio11]

Dziedzinę deklaruję sam... O tym nie wiedziałem ^^ To jest raczej z terminologii niż z matematyki, a że się tego jeszcze nie uczyłem - nie wiem, znaczy, wiem - dzięki Tobie :] Co do pisowni, absolutnie nie będę się kłócił, tylko po prostu myślałem, że mogłeś się pomylić. Dzięki za wytrwałe odpowiedzi.