Udowodnij, że liczba jest podzielna przez 3

[gerg]

Treść zadania:
Udowodnić, że dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ n \in N}\), liczba \(\displaystyle{ 2n ^{2} + n}\) jest podzielna przez 3.

Zabrałem się za zadanie tak.
Udowodnić, że ta liczba jest podzielna przez liczby postaci \(\displaystyle{ n = 3k, n = 3k + 1, n = 3k +2}\)
Dla \(\displaystyle{ n = 3k}\) oraz \(\displaystyle{ n = 3k +1}\) wychodzi podzielność przez 3.

Problem jest z liczbą postaci \(\displaystyle{ 3k + 2}\).
\(\displaystyle{ 2(9k ^{2} + 12k + 4) + 3k + 2 = 18k ^{2} + 27k + 10}\), a więc ta liczba nie jest podzielna przez 3. Istotnie, liczby tej postaci (2, 5, 8, itd.) nie dzielą się przez 3.

Więc wychodzi na to, że liczba \(\displaystyle{ 2n ^{2} + n}\) nie dzieli się przez 3 dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in N}\).

We wskazówkach jest coś takiego : 'Rozważyć przypadki, gdy \(\displaystyle{ n = 3k}\) lub \(\displaystyle{ n = 3k +1}\), lub\(\displaystyle{ n = 2k +2}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in N}\)' - tego też nei rozumiem zbytnio jeśli chodzi o podzielność przez 3.

Mógłby ktoś rzucić na to okiem i mi to trochę rozjaśnić?
Z góry dzięki.
Pozdrawiam

[kaszubki]

No i masz rację. We wskazówkach po prostu mają błąd, tak samo, jak w treści zadania.

[frej]

Dobrze myślisz, ale pomyliłeś się w obliczeniach.

\(\displaystyle{ (3k+2) \left( 2(3k+2)^2+1 \right) = (3k+2) \left(18k^2 + 24k +9 \right)=3(3k+2) (6k^2 + 8k +3)}\)

[gerg]

Ddzięki za odp.
Hmm, wyciągnąłeś \(\displaystyle{ 3k +2}\) przed nawias?

\(\displaystyle{ (3k+2) \left( 2(3k+2)^2+1 \right)}\)

Wtedy wychodzi \(\displaystyle{ 2((3k+2)^3) + 3k + 2}\), dla \(\displaystyle{ n = 3k + 2}\) wychodzi \(\displaystyle{ 2n^3 + n \neq 2n^2 + n}\) (jak było w treści zadania).

Być może błąd jest w moich obliczeniach z tym, że ja go nie widzę, a próbowałem już robić zadanie kilka razy. Prosiłbym o wytknięcie w którym miejscu jest błąd o ile jest.

[frej]

Przepraszam, źle zobaczyłem ...

Oczywiście, obaj macie rację.

[gerg]

W takim razie dzięki za pomoc.