Witam, pomógłby ktoś rozkminić zadanie, bo póki co nie łapię się jeszcze dokładnie w szeregach.
Zadanie brzmi następująco.
Rozwiń podaną funkcję w szereg cosinusów
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 1 \ dla \ x (0;\frac{\pi}{2}\\cosx \ dla \ x(\frac{\pi}{2};\pi)\end{cases}}\)
Oblicz 4 pierwsze wyrazy, zaokrąglij do 4 miejsc po przecinku.
Rozwinięcie w szereg cosinusów[szeregi Fouriera]
-
Mbach
- Użytkownik
- Posty: 312
- Rejestracja: 3 lis 2004, o 16:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: braku inwencji
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 25 razy
Rozwinięcie w szereg cosinusów[szeregi Fouriera]
Skoro masz ja rozwinac w szereg cosinusow, musisz przedluzyc ta funkcje. Musi byc ona funkcja parzysta. przyjmujesz wiec ze dla \(\displaystyle{ x \in {(-\pi, 0)} \quad f(x) = f(-x)}\). Musza byc spelnione warunki dirichleta, wiec sprawdzasz/dokonujesz formalnosci:
1. funkcja jest przedzialami monotoniczna.
2. Na krancach spelniony jest warunek \(\displaystyle{ f(\pi) = f(-\pi) = \frac{\lim_{x \to -\pi^{-}}{f(x)} + \lim_{x \to +\pi^{-}}{f(x)}}{2}}\).
3. Dla punktow w punktach nieciaglosci dokonujesz analogicznego sprawdzenia jak w punkcie powyzej. w \(\displaystyle{ -\pi/2 \quad \pi/2}\) musisz przyjac \(\displaystyle{ f(x) = 0.5}\).
Jest to szereg cosinusow wiec nie wystepuja wspolczynniki przy sinusach $
ightarrow b_{n} = 0$.
Okreslamy \(\displaystyle{ l = \frac{okres}{2} = \pi}\)
i masz \(\displaystyle{ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{n} cos(nx)}\), przy czym \(\displaystyle{ a_n = \frac{2}{\pi}\cdot \int^{\pi}_{0}{f(x)\cdot cos{nx}}}\). f jest okreslona innym wzorem na dwoch przedzialach, wiec ta calke musisz rozbic na dwie, w przedzialach 0, pi/2 i pi/2, pi.
1. funkcja jest przedzialami monotoniczna.
2. Na krancach spelniony jest warunek \(\displaystyle{ f(\pi) = f(-\pi) = \frac{\lim_{x \to -\pi^{-}}{f(x)} + \lim_{x \to +\pi^{-}}{f(x)}}{2}}\).
3. Dla punktow w punktach nieciaglosci dokonujesz analogicznego sprawdzenia jak w punkcie powyzej. w \(\displaystyle{ -\pi/2 \quad \pi/2}\) musisz przyjac \(\displaystyle{ f(x) = 0.5}\).
Jest to szereg cosinusow wiec nie wystepuja wspolczynniki przy sinusach $
ightarrow b_{n} = 0$.
Okreslamy \(\displaystyle{ l = \frac{okres}{2} = \pi}\)
i masz \(\displaystyle{ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{n} cos(nx)}\), przy czym \(\displaystyle{ a_n = \frac{2}{\pi}\cdot \int^{\pi}_{0}{f(x)\cdot cos{nx}}}\). f jest okreslona innym wzorem na dwoch przedzialach, wiec ta calke musisz rozbic na dwie, w przedzialach 0, pi/2 i pi/2, pi.
Rozwinięcie w szereg cosinusów[szeregi Fouriera]
Mbach
wyszło mi takie coś i mam wrażenie, że nie gra- przy wyliczaniu a1=wychodzi mi dzielenie przez 0
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 1\ dla\ x\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\\ -cosx\ dla\ x\in <-\pi;\frac{\pi}{2})\\cosx\ dla\ x\in (\frac{\pi}{2};\pi>\\ \frac{1}{2} \ dla \ x\in \begin{cases}-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \end{cases} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a_{o} = \frac{2}{2\pi} [ [x]^{\frac{\pi}{2}}_{0} + [sinx] ^{\pi} _{\frac{\pi}{2}}]=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{2}{\pi}[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} 1 \ast cosnx + \int_{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} cosx \ast cosnx]}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cosnx \mbox{d}x =\left| \frac{1}{n}sinnx \right| ^{\frac{\pi}{2}} _{0}=\frac{1}{n}sinx \frac{n \pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} cosx \ast cosnx = \left|\begin{array}{ccc}f=cosx&f '=-sinx\\g '=cosnx&g=\frac{1}{n}sinnx\end{array}\right|= \left|\frac{cosxsinnx}{n} \right| ^{\pi} _{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{n} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}sinxsinnxdx \left|\begin{array}{ccc}f=sinx&f '=cosx\\g '=sinnx&g=-\frac{1}{n}cosnx\end{array} \right|= \frac{1}{n}([-\frac{1}{n}sinxcosnx] ^{\pi} _{\frac{\pi}{2}}+ \frac{1}{n} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}cosxcosnx= -\frac{1}{n ^{2}}sin\frac{\pi}{2}cos\frac{n \pi}{2}+\frac{1}{n ^{2}} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}cosxcosnx}\)
\(\displaystyle{ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}cosxcosnx=-\frac{1}{n ^{2}}sin\frac{\pi}{2}cos\frac{n \pi}{2}+\frac{1}{n ^{2}} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}cosxcosnx}\)
\(\displaystyle{ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}cosxcosnx(1-\frac{1}{n ^{2}})=-\frac{1}{n ^{2}}sin\frac{\pi}{2}cos\frac{n \pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{\pi}{2}[\frac{1}{n}sinx \frac{n \pi}{2}+ \frac{-\frac{1}{n ^{2}}sin\frac{\pi}{2}cos\frac{n \pi}{2}}{1-\frac{1}{n ^{2}}}]}\)
FINITO-- 28 kwietnia 2009, 15:29 --Jeżeli ktoś mogłby pomóc znaleźć ewentualny błąd i nakierować byłbym wdzięczny .
wyszło mi takie coś i mam wrażenie, że nie gra- przy wyliczaniu a1=wychodzi mi dzielenie przez 0
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 1\ dla\ x\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\\ -cosx\ dla\ x\in <-\pi;\frac{\pi}{2})\\cosx\ dla\ x\in (\frac{\pi}{2};\pi>\\ \frac{1}{2} \ dla \ x\in \begin{cases}-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \end{cases} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a_{o} = \frac{2}{2\pi} [ [x]^{\frac{\pi}{2}}_{0} + [sinx] ^{\pi} _{\frac{\pi}{2}}]=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{2}{\pi}[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} 1 \ast cosnx + \int_{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} cosx \ast cosnx]}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cosnx \mbox{d}x =\left| \frac{1}{n}sinnx \right| ^{\frac{\pi}{2}} _{0}=\frac{1}{n}sinx \frac{n \pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} cosx \ast cosnx = \left|\begin{array}{ccc}f=cosx&f '=-sinx\\g '=cosnx&g=\frac{1}{n}sinnx\end{array}\right|= \left|\frac{cosxsinnx}{n} \right| ^{\pi} _{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{n} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}sinxsinnxdx \left|\begin{array}{ccc}f=sinx&f '=cosx\\g '=sinnx&g=-\frac{1}{n}cosnx\end{array} \right|= \frac{1}{n}([-\frac{1}{n}sinxcosnx] ^{\pi} _{\frac{\pi}{2}}+ \frac{1}{n} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}cosxcosnx= -\frac{1}{n ^{2}}sin\frac{\pi}{2}cos\frac{n \pi}{2}+\frac{1}{n ^{2}} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}cosxcosnx}\)
\(\displaystyle{ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}cosxcosnx=-\frac{1}{n ^{2}}sin\frac{\pi}{2}cos\frac{n \pi}{2}+\frac{1}{n ^{2}} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}cosxcosnx}\)
\(\displaystyle{ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}cosxcosnx(1-\frac{1}{n ^{2}})=-\frac{1}{n ^{2}}sin\frac{\pi}{2}cos\frac{n \pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{\pi}{2}[\frac{1}{n}sinx \frac{n \pi}{2}+ \frac{-\frac{1}{n ^{2}}sin\frac{\pi}{2}cos\frac{n \pi}{2}}{1-\frac{1}{n ^{2}}}]}\)
FINITO-- 28 kwietnia 2009, 15:29 --Jeżeli ktoś mogłby pomóc znaleźć ewentualny błąd i nakierować byłbym wdzięczny .