[Ciągi] Ciąg wyznaczony przez podzielności

[matex_06]

Znalazelm gdzies takie fajne zadanie:
Ciąg (1,1,1,1,2) spełnia warunek że suma dowolnych 2 liczb tego ciagu dzieli sume pozostalych 3. Czy istnieje inny 5 wyrazowy ciag o roznych wyrazach o podobnej wlasnosci?

[XMaS11]

Treść jest na pewno ok ?

[abc666]

Coś właśnie nie bardzo, ale jeśli chodzi o to co myślę to każdy ciąg postaci (n,n,n,n,2n) ma taką własność

[matex_06]

ok tresc poprawiona sory za tamten blad...(moja glupota)

[Sylwek]

No w sumie typowe zadanie na finał... OMG . Dość proste więc pokażę coś więcej, a mianowicie wszystkie ciągi spełniające warunki zadania:

\(\displaystyle{ 1 \le a \le b \le c \le d \le e}\), oczywiście zachodzi: \(\displaystyle{ 0<\frac{a+p+q}{r+e}<2}\), co daje \(\displaystyle{ \frac{a+p+q}{r+e}=1}\), gdzie \(\displaystyle{ (p,q,r)}\) jest dowolną permutacją \(\displaystyle{ (b,c,d)}\). Stąd otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \begin{cases}a+b+c=d+e \\ a+b+d=c+e \\ a+c+d=b+e \end{cases}}\)

Dodając dwa pierwsze równania: \(\displaystyle{ e=a+b}\), a odejmując dwa dowolne otrzymujemy równość pewnych dwóch zmiennych ze zbioru {b,c,d} (i za każdym razem jest to równość innej pary), zatem problem sprowadził się do znalezienia ciągów postaci: \(\displaystyle{ (a,b,b,b,a+b)}\), ale z warunków zadania liczba: \(\displaystyle{ \frac{(a)+(b)+(a+b)}{(b)+(b)}=\frac{a+b}{b}}\) jest całkowita, no i teraz: \(\displaystyle{ 1<\frac{a+b}{b}<3}\), czyli \(\displaystyle{ a+b=2b \iff a=b}\), stąd:

\(\displaystyle{ (a,b,c,d,e)=(a,a,a,a,2a)}\)

Łatwo sprawdzić że wszystkie ciągi tej postaci spełniają warunki zadania, na koniec pozbywamy się relacji uporządkowania pomiędzy zmiennymi otrzymując wszystkie możliwe rozwiązania.

Problem można uogólnić na 2k+1-elementowe ciągi (k naturalne), k+1 zmiennych w liczniku, k z mianowniku, z tego co wymyśliłem w pamięci dla \(\displaystyle{ k \ge 3}\) nie powinno być już rozwiązań, bo w podobny sposób prawdopodobnie dostaniemy \(\displaystyle{ a_i=a_j}\) dla \(\displaystyle{ 2 \le i<j \le 2k}\) no i stąd szybko można dojść do sprzeczności. Dla k=2 rozwiązanie powyżej, dla k=1 siłka, ale podobnie idzie

[edit] Była tu literówka, w pewnym momencie użyłem dwa razy tej samej zmiennej i to mogło powodować nieporozumienia, poprawione.

[Swistak]

No w sumie typowe zadanie na finał... OMG .

Lol, przecież algebra na OMG jest bardzo prosta, a nawet jak nie jest, to jej rozwiązanie i tak nie zajmuje więcej niż 2 linijki.
Btw ostatnio coś nie jestem w formie, ale czemu przyjmujesz, że \(\displaystyle{ a}\) jest w liczniku, a \(\displaystyle{ e}\) w mianowniku? Dlaczego nie rozpatrzyłeś przypadku ułamka \(\displaystyle{ \frac{b+c+d}{a+e}}\)?
Jeszcze taki drobny szczegół: Po dodaniu dowolnych dwóch równań z tego układu możemy otrzymać dowolną z zależności \(\displaystyle{ a+b=e \ a+c=e\ a+d=e}\), jednak skoro \(\displaystyle{ b=c=d}\) nie ma to żadnego wpływu na rozwiązanie.
Poza tym jeszcze skoro \(\displaystyle{ (b; c; d)=(b; b; b)}\) to ten ułamek przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \frac{a+b+b}{b+(a+b)}=1}\).
Ciągi o postaci {a; a; a; a; 2a} nie spełniają warunków zadania, ponieważ każdy element miał być różny, ale to też mały szczegół, bo nie o to chodzi w zadaniach aby się haczyków słownych doszukiwać.

[Sylwek]

Rozumiem, gdyby rozwiązanie było złe, ale skoro nie jest, to po co je tak rozdrapujesz?
P.S. Była tam pewna literówka, co mogło Cię zmylić, bo użyłem w pewnym miejscu a zamiast b i ostatnie przejście było mylne, poprawiłem.

Btw ostatnio coś nie jestem w formie, ale czemu przyjmujesz, że \(\displaystyle{ a}\) jest w liczniku, a \(\displaystyle{ e}\) w mianowniku? Dlaczego nie rozpatrzyłeś przypadku ułamka \(\displaystyle{ \frac{b+c+d}{a+e}}\)?

Gdyż wszystkie ułamki tej postaci są całkowite, więc w szczególności te, które rozpatrzyłem.

Jeszcze taki drobny szczegół: Po dodaniu dowolnych dwóch równań z tego układu możemy otrzymać dowolną z zależności \(\displaystyle{ a+b=e \ a+c=e\ a+d=e}\), jednak skoro \(\displaystyle{ b=c=d}\) nie ma to żadnego wpływu na rozwiązanie.

No z tych trzech (dwa wystarczą, jakbyś się o to zapytał) zależności otrzymujemy właśnie b=c=d, podałem raczej bardzo dokładny szkic, szczegóły chyba każdy kto starał się zrozumieć potrafi sobie dopisać.

Poza tym jeszcze skoro \(\displaystyle{ (b; c; d)=(b; b; b)}\) to ten ułamek przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \frac{a+b+b}{b+(a+b)}=1}\).

Przyjmuje. Nic nas to nie obchodzi, patrz 2 cytaty wyżej w tym poście. Skoro wszystkie, to w szczególności jeden z nich, a na koniec sprawdzenie.

Ciągi o postaci {a; a; a; a; 2a} nie spełniają warunków zadania, ponieważ każdy element miał być różny, ale to też mały szczegół, bo nie o to chodzi w zadaniach aby się haczyków słownych doszukiwać.

Rozwiązałem problem: "Znajdź wszystkie takie ciągi o podobnej właściwości (niekoniecznie z parami różnymi liczbami)".