Dowód na wyrażeniach alg.

[Wojdan]

Treść zadania:

Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą całkowitą dodatnią oraz
\(\displaystyle{ x = (1 + \frac{1}{n})^{n}}\)
i
\(\displaystyle{ y = (1 + \frac{1}{n})^{n + 1}}\)
to
\(\displaystyle{ x^{y} = y^{x}}\)

[lorakesz]

\(\displaystyle{ x^y = y^x\\
\ln x^y = \ln y^x\\
y\ln x = x\ln y\\
(1 + \frac{1}{n})^{n + 1} \ln (1 + \frac{1}{n})^{n}=(1 + \frac{1}{n})^{n}\ln (1 + \frac{1}{n})^{n + 1}\\
(1 + \frac{1}{n})^{n + 1} n \ln (1 + \frac{1}{n})=(1 + \frac{1}{n})^{n}(n+1)\ln (1 + \frac{1}{n})\\
(1 + \frac{1}{n})^{n + 1} n=(1 + \frac{1}{n})^{n}(n+1)\\
(1 + \frac{1}{n})n=n+1\\
n+1=n+1\\
L=P}\)

[Wojdan]

Ale szukam sposobu na rozwiązanie tego bez pomocy log. natur. (ln) ;/
Czekam dalej

[mikolajr]

\(\displaystyle{ ((1 + \frac{1}{n})^{n})^{(1 + \frac{1}{n})^{n + 1}}=((1 + \frac{1}{n})^{n + 1})^{(1 + \frac{1}{n})^{n}}}\)

podstawy są równe więc sprawdzamy potęgi

\(\displaystyle{ n*(1 + \frac{1}{n})^{n + 1}=(n+1)*(1 + \frac{1}{n})^{n}}\)

\(\displaystyle{ n(1+\frac{1}{n})(1 + \frac{1}{n})^{n}=(n+1)*(1 + \frac{1}{n})^{n}}\)
\(\displaystyle{ n(1+\frac{1}{n})=(n+1)}\)
\(\displaystyle{ n+1=n+1}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)