Granice ze zmiennym wykładnikiem i zmienną granicą sumowa

[Rav_DuCe]

Witam mam problem z policzeniem pewnych typów granic.

1) \(\displaystyle{ \lim_{n\to } \bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\) zupełny brak pomysłu

2) Wiadomo że \(\displaystyle{ \lim_{n\to }(1+a_{n})^{\frac{1}{a_{n}}}=e ftrightarrow \lim_{n\to\infty}a_{n}=0}\) nie ma więc problemu z granicami w rodzaju
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(\frac{n-4}{n+6})^{n}}\) ale co zrobić gdy współczynniki przy najwyższych potęgach są różne lub najwyższy stopień licznika jest różny od stopnia mianownika np.
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(\frac{2n^2+n+3}{n^2+3n+10})^{n^2+2n}}\) mam z tego
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(\frac{n^2+3n+10+n^2-2n-7}{n^2+3n+10})^{n^2+2n}=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(1+\frac{n^2-2n-7}{n^2+3n+10})^{n^2+2n}}\) i co dalej przecież \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n^2-2n-7}{n^2+3n+10}=1\neq0}\)
Za odpowiedzi dzięki z góry.

[Gobol]

1) Z tego co mi sie wydaje to jest szereg rozbieżny , a więc jego suma wynosi nieskończonosc.

[g]

1. \(\displaystyle{ {n \over n} < a_n < {n \over n+1}}\)
2. no to jak jest granica tego stosunku jeden, to granica calosci nieskonczonosc, bo to sie zachowuje jak 2 do czegos tam. zeby to doglebniej pokazac, mozesz juz na samym poczatku wyjac dwojke z licznika i na koncu wyjdzie \(\displaystyle{ 2^{n^2 + 2n}}\) razy e do czegos.

[Rav_DuCe]

Do Gobol : szeregi w postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{(An+B)^k}}\) są rzeczywiście rozbieżne dla k \(\displaystyle{ \in(0,1]}\) ale w tym przykładzie k przecież nie jest stałą to trzeba chyba podobie jak z policzeniem \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}}\) poprzez rozkład na ułamki proste i redukcje sprowadza się to do policzenia granicy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1}\) a tutaj to nie mam pojęcia do jakiej postaci to trzeba doprowadzić.
Do g 1) z tej podwójnej nierówności wynika, że \(\displaystyle{ \frac{n}{n}}\) gdyż \(\displaystyle{ [2^{\infty}]=\infty}\) ????

[Gobol]

Rav_DuCe, masz racje, po prostu źle spojrzałem. Myślałem, że tam jest \(\displaystyle{ \frac{1}{sqrt{k^{2}+k}}}\)
Ale skoro jest \(\displaystyle{ \frac{1}{sqrt{n^{2}+k}}}\)
to mozna to chyba zrobić po prostu z tw. o 3 ciągach
\(\displaystyle{ a_{n}=\bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{sqrt{n^{2}}}=\bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}=1}\)
\(\displaystyle{ b_{n}=\bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{sqrt{n^{2}+k}}\)
\(\displaystyle{ c_{n}=\bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{sqrt{n^{2}+n}}=\bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=\frac{n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1}\)
\(\displaystyle{ a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}}\)
Pominąłem w zapisie limesy, ale wiadomo o co chodzi.

[Rav_DuCe]

Wydaje mi się że to dobre rozwiązanie z tym że powinno być chyba \(\displaystyle{ c_{n}}\)

[g]

1. no zesz kurna na odwrot... tak trudno sie skapnac? czy tu kazda odpowiedz trzeba podac na talerzu? czasem mam wrazenie ze nikt tu inicjatywy nie wykazuje.
2. tak.

[Gobol]

Napisałem że pominąłem limesy (to z lenistwa). Gdyby nierówność była ostra to by było
\(\displaystyle{ 1 < lim b_{n} < 1}\)
Co jest sprzecznoscia, dlatego napisałem nieostre nierównosci.