całki podwójne, potrójne

[uzi3]

1. Oblicz całkę (zastosuj zmienne biegunowe):

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{D}^{} xdxdy$ , gdzie D: $ {x}^{2} + {y}^{2} \leq 2x}\)

2. Oblicz objetosc bryły ograniczonej powierzchniami

\(\displaystyle{ z = 2{x}^{2} + {y}^{2} + 1 , x + y = 1}\) oraz płaszczyznami układu współrzędnych.

3. Oblicz całki potrójne:
a)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} \int_{V}^{} {x}^{3} {y}^{2}z dxdydz}\) , gdzie \(\displaystyle{ V: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x , 0 \leq z \leq xy}\),

b)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} \int_{V}^{} \sqrt{ {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} } dxdydz}\) , gdzie \(\displaystyle{ V: {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} \leq x}\).

Wskazówka: Zastosuj zmienne sferyczne.
4. Oblicz objetosc bryły ograniczonej powierzchniami \(\displaystyle{ {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = 2z$,
$ {x}^{2} + {y}^{2} = {z}^{2}}\) .
Wskazówka: Zastosuj zmienne cylindryczne.

[belferkaijuz]

1).\(\displaystyle{ D=[(x,y):(x-1)^2+y^2=1]}\)
niech
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=rcost+1 \\ y=rsint\\- \frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2}\\0 \le r \le 2cost \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \int \int_{D}xdxdy= \int_{ \frac{-\pi}{2} }^{ \frac{\pi}{2} }( \int_{0}^{2cost}(rcost+1)rdr)dt}\)
dalej-już prosto