Mam pytanie :
Czy jeśli spełnione są warunki ( na jednostajną równoważność metryk ) :
\(\displaystyle{ \forall x,y\in X [\beta q_{1}(x,y)\leq p_{2}(x,y) q p_{1}(x,y)]}\)
\(\displaystyle{ \forall x,y\in X [\beta q_{1}(x,y)\leq p_{3}(x,y) q p_{1}(x,y)]}\)
a \(\displaystyle{ q_{1},q_{2},q_{3}}\) to pewne metryki, to czy \(\displaystyle{ q_{2}}\) i \(\displaystyle{ q_{3}}\) są jednostajnie równoważne i dlaczego ? Bo ja jakoś tego nie widzę.
pzdr.
metryki jednostajnie równoważne
metryki jednostajnie równoważne
z pierwszej linijki z lewej nierówności
\(\displaystyle{ \forall x,y [\beta q_1(x,y) q q_2(x,y)]\\ \forall x,y [\alpha 1/\beta q_2(x,y) q q_1(x,y) q q_3(x,y)]}\)
z pierwszej linijki z prawej nierówności
\(\displaystyle{ \forall x,y [q_2(x,y) q q_1(x,y)] \\ \forall x,y [\beta 1/\alpha q_2(x,y) q \beta q_1(x,y) q q_3(x,y)]}\)
lacznioe mamy
\(\displaystyle{ \forall x,y [\beta 1/\alpha q_2(x,y) q q_3(x,y) q 1/\beta q_2(x,y)]}\)
\(\displaystyle{ \forall x,y [\beta q_1(x,y) q q_2(x,y)]\\ \forall x,y [\alpha 1/\beta q_2(x,y) q q_1(x,y) q q_3(x,y)]}\)
z pierwszej linijki z prawej nierówności
\(\displaystyle{ \forall x,y [q_2(x,y) q q_1(x,y)] \\ \forall x,y [\beta 1/\alpha q_2(x,y) q \beta q_1(x,y) q q_3(x,y)]}\)
lacznioe mamy
\(\displaystyle{ \forall x,y [\beta 1/\alpha q_2(x,y) q q_3(x,y) q 1/\beta q_2(x,y)]}\)