Ciąg arytmetyczny i geometryczny - 5 zadań

[GT]

Witam, prosze o pomoc. Jak rozwiązac poniższe zadania? Z góry dzieki. Pozdrawiam.

zad1
W pewnym ciagu arytmetycznym siódmy wyraz jest równy 17, a suma siedmiu poczatkowych wyrazow tego ciagu wynosi 77. Wyznacz n wiedziac, ze Sn=140

zad2
Pierwszy wyraz skonczonego sciagu arytmerycznego wynosi 30, różnica ciągu r=-5, ostatni wyraz stanowi \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) sumy wszystkich poprzednich wyrazow. Znajdz liczbe wyrazow i sume wszystkich wyrazow tego ciagu.

zad3
Suma 3 kolejnych wyrazow ciagu geom. wynosi 62. Różnica wyrazow trzeciego i drugiego jest pięć razy wieksza od różnicy wyrazow drugiego i pierwszego. Wyznacz pierwszy iloraz tego ciągu.

zad4
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x+x{3}+x{5}+...=\frac{2}{3}}\) , w którym lewa strona jest sumą wyrazów nieskończonego ciągu geom. o ilorazie q nalezy do(-1,1)

zad5
Ciąg an jest ciągiem geom. nieskonczonym o ilorazie z przedzialu (-1,1). Suma jego wyrazow (wskaźnikach) nieparzystych jest równa 5, a suma wyrazow o numerach (wskaźnikach) parzystych jest rowna 2. Wyznacz a1 oraz iloraz tego ciągu.

[Tomasz Rużycki]

Napisz, w czym problem. Na pewno Ci pomożemy. W których miejsach konkretnie się 'zacinasz'?


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[Do Tomasza:]

Nie wiem jak rozwiazac te zadania poniewaz chorowalem i nie bylem wogole na lekcjach dotyczacych ciagow. Jakbys mogl to napisz mi mniej wiecej jak to rozwiacac, pozdr

[siwy]

zad1

\(\displaystyle{ a_7}\)=17

\(\displaystyle{ a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=77}\)
\(\displaystyle{ (a_7-6r)+(a_7-5r)+(a_7-4r)+(a_7-3r)+(a_7-2r)+(a_7-r)+a_7=77}\)
\(\displaystyle{ 7a_7-21r=77}\)
\(\displaystyle{ 7*17-21r=77}\)
119-21r=77
21r=42
r=2

\(\displaystyle{ S_7=77}\)
\(\displaystyle{ S_8=77+19=96}\)
\(\displaystyle{ S_9=96+21=117}\)
\(\displaystyle{ S10=117+23=140}\)

n=10

[Lady Tilly]

Dam Ci pewną wskazówkę co do drugiego zadania:
\(\displaystyle{ a_{1}=30}\) r=-5
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}+r(n-2)=30-5(n-1)}\)
\(\displaystyle{ a_{n-1}=a_{1}+r(n-2)=30-5(n-2)}\)
wzór na sumę n-wyrazowego ciągu arytmetycznego wygląda tak:
\(\displaystyle{ S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})n}{2}}\) teraz dokonujesz odpowiednich podstawień;
\(\displaystyle{ 30-5(n-1)=\frac{1}{8}{\cdot}\frac{[30+30-5(n-2)](n-1)}{2}}\)
Teraz wystarczy to rozwiązac bo to równanie z jedną niewiadomą n. Myślę, że o to chodziło. Jeśli nie to wołać.

[agiszonek]

ad. 3
ukladasz i rozwiazujesz nastepujacy uklad rownan:
\(\displaystyle{ a_{1}+a_{2}+a_{3}=62}\)
\(\displaystyle{ a_{3}-a_{2}=5(a_{2}-a_{1})}\)
kozystajac z wzoru na n-ty wyraz ciagu geom. \(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}q^{n-1}}\) obliczamy \(\displaystyle{ a_{2}=a_{1}q}\) i \(\displaystyle{ a_{3}=a_{1}q^{2}}\) i podstawiamy do ukladu rownan i otrzymujemy uklad dwoch rownan z dwoma niewiadomymi

ad. 4
wystarczy skorzystac z wzoru na szereg geom. \(\displaystyle{ S=\frac{a_{1}}{1-q}}\) w ktorym \(\displaystyle{ a_{1}=x}\) i \(\displaystyle{ q=x^{2}}\) (bo \(\displaystyle{ q=\frac{a_{2}}{a_{1}}}\)), a \(\displaystyle{ S=\frac{2}{3}}\)

i pamietaj ze x ktore Ci wyjdzie musi nalezec do przedzialu (-1,1)

ad. 5
mamy szereg geom.: \(\displaystyle{ a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+...}\), czyli \(\displaystyle{ a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+...}\)
wiemy ze \(\displaystyle{ a_{1}+a_{3}+...=5}\) czyli: \(\displaystyle{ a_{1}+a_{1}q^{2}+...=5}\)
kozystajac z wzoru na sume szeregu geom ukladamy rownanie: \(\displaystyle{ 5=\frac{a_{1}}{1-q^{2}}}\)
i wiemy ze \(\displaystyle{ a_{2}+a_{4}+...=2}\) czyli: \(\displaystyle{ a_{1}q+a_{1}q^{3}+...=2}\)
takze ukladamy rownanie korzystajac z wzoru na sume szeregu geom.: \(\displaystyle{ 2=\frac{a_{1}q}{1-q^{2}}}\)
mamy dwa rownania z dwoma niewiadomymi i je rozwiazujemy

aha dla scislosci szereg geometryczny to to samo co ciag geometryczny o nieskonczonej liczbie wyrazow
mam nadzieje ze sie gdzies nie pomylilam
pozdrawiam