Równanie z trzema niewiadomymi.

[ClausNicolas]

"Liczby dodatnie a,b,c spełniają warunek \(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ a=b=c}\)."

Poniżej zamieściłem moje rozwiązanie. Czy jest ono poprawne?

\(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc}\)

\(\displaystyle{ b = a+x}\)

\(\displaystyle{ c = a+y}\)

\(\displaystyle{ x,y \in (rzeczywiste,dodatnie)}\)

\(\displaystyle{ a^{3} + (a+x)^{3} + (a+y)^{3} = 3a(a+x)(a+y) /3xy}\)

\(\displaystyle{ \frac{ax}{y} + \frac{ay}{x} + \frac{x^{2}}{3y} + \frac{y^{2}}{3x} = a /a}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{x^{2} }{3ay} + \frac{y^{2} }{3ax} = 1}\)

Każdy składnik sumy lewej strony powyższego równania jest dodatni.
\(\displaystyle{ \frac{x}{y} < 1 \Rightarrow \frac{y}{x} > 1}\).
Jak widać, lewa strona równania w każdym przypadku będzie >1 ( nawet jeśli nie liczylibyśmy trzeciego i czwartego składnika sumy ) - zachodzi sprzeczność ponieważ po prawej stronie mamy tylko 1 ( dla x=y wyżej opisana zależność również występuje co łatwo sprawdzić ).

W związku z powyższym, żadne liczby rzeczywiste nie spełniają wyżej opisanego równania. Zatem x i y nie istnieją. Stąd wniosek, iż a=b=c.

Z góry dziękuję za korekty.

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3} \ge 3\sqrt[3]{a^{3}\cdot b^{3} \cdot c^{3}}=3abc}\)

Równość zachodzi wtedy, gdy \(\displaystyle{ a=b=c \ \ \ c.k.d}\)

[ClausNicolas]

Rzeczywiście, można było krócej . Z drugiej strony, podtrzymuję pytanie, czy aby na pewno moje rozwiązanie jest poprawne?

[mnij]

o ile w liczeniu nie ma błedu to chyba tak ;p spodobała mi się idea wykazania że takie x i y nie istnieją sam to zadanie kiedyś robiłem sporo przekształcając, ale ta satysfakcja była tego warta

@Nakahed90

to rozwiązanie pozbawia uroku takie zadania ;p

[Nakahed90]

Wszystko jest OK.

@edit:poprawiłem błąd.

[mnij]

...

[Marmon]

\(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3} \ge 3\sqrt[3]{a^{3}\cdot b^{3} \cdot c^{3}}=3abc}\)

Równość zachodzi wtedy, gdy \(\displaystyle{ a=b=c \ \ \ c.k.d}\)

Skąd się wzięła prawa strona, ta z pierwiastkiem ; P

[Nakahed90]

Nierówność AM-GM.

[ClausNicolas]

Założenie powinno być \(\displaystyle{ x,y \in N}\)

Dlaczego? Naturalne są zbyt wąskim zbiorem...liczby mogą różnić się np. o 0.1,0.2...itd.
( w poleceniu jest mowa o liczbach dodatnich...nikt nie wspomina o tym, iż muszą być całkowite...no chyba, że wynika to z innych właściwości ).

-- 10 kwietnia 2009, 12:36 --

Równość zachodzi wtedy, gdy a=b=c c.k.d

Owszem, lecz mamy wykazać, że równość zachodzi wtedy, i tylko wtedy ( \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) zamiast \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) ) gdy a=b=c.

[Nakahed90]

No i zachodzi wtedy i tylko wtedy.

Twoje założenie jest dobre, przez przypadek przeczytałem, że muszą być całkowite..

[ClausNicolas]

Na jakiej podstawie doszedłeś do takich wniosków, przy założeniu, że mamy do dyspozycji tylko nierówność, którą napisałeś w pierwszym poście?

[Nakahed90]

Średnia arytmetyczna jest równa geometrycznej, tylko wtedy kiedy wyrazy są sobie równe.

[frej]

Można też tak
\(\displaystyle{ 0=a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2} (a+b+c) \left((a-b)^2+(b-c)^2 + (c-a)^2 \right)}\)

Łatwo można udowodnić przy pomocy wzorów Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia tę tożsamość

[ClausNicolas]

Łatwo można udowodnić przy pomocy wzorów Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia tę tożsamość

Nie wykluczone. Z drugiej strony, przy rozwiązywaniu dysponowałem tylko matematyką gimnazjalną więc ani "wzorów Viete'a" ani "średniej geometrycznej" znać nie znałem .