wartość m

[magda1953]

\(\displaystyle{ 2x^{2} -x-3m+1= 0}\)

pyt. Dla jakich wartości m równanie ma dwa różne pierwiastki dodatnie ?
\(\displaystyle{ }\)

[Althorion]

Żeby równanie kwadratowe miało dwa pierwiastki dodatnie, musi spełniać dwa warunki - musi mieć dwa pierwiastki rzeczywiste oraz muszą one być dodatnie (odkrywcze, co?).

To pierwsze sprawdzimy, wyliczając deltę. Dwa różne będą tylko wtedy, gdy będzie ona dodatnia.

To drugie sprawdzimy, prosząc o pomoc wzory Viete'a. Jeżeli iloczyn i suma rozwiązań są dodatnie, to obydwa rozwiązania są dodatnie.

[magda1953]

A czy jest ktoś kto mógłby rozwiązać to zadanie, mam pewne zaległości i twoja podpowiedź dość mało mi mówi. Byłabym wdzięczna za rozwiązanie tego zadania, wtedy będe mogła śledzić tok rozumowania i wyciągną wnioski przy okazji nauczyć się czegoś.

[Harry Xin]

Nie rozwiążę całości, ale mogę pomóc zrozumieć.

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0 \\ x_{1}x_{2}>0 \\ x_{1}+x_{2}>0 \end{cases}}\)

Deltę liczyć umiesz? Wzory Viète'a znasz?

[magda1953]

\(\displaystyle{ x _{1}+ x_{2}=- \frac{b}{a}}\)
\(\displaystyle{ x _{1}x _{2}= \frac{c}{a}}\)
delta = b^2 - 4ac
Wzory znam, nie wiem jak zastosować.
Czy jest ktoś kto mógłby mi to rozwiązać? Byłabym ogromnie wdzięczna.

[Harry Xin]

Wzory znasz.
Zachodzą one dla następującego równania kwadratowego:

\(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c=0}\)

My natomiast mamy coś takiego:

\(\displaystyle{ 2x^{2}-x-3m+1=0}\)

Spróbuj przez analogię podstawić odpowiednie wartości...

[magda1953]

\(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}=- \frac{-1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}= \frac{4}{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{1}=\frac{-1}{2}-x _{2}}\)
o to chodzi ? na końcu wyjdzie że \(\displaystyle{ x _{2}=-0,75}\) a \(\displaystyle{ x _{1}=0,25}\)
Już się pogubiłam, nie umiem tego rozwiązać ;/ Potrzebuje kogoś kto mi to rozwiąże, bo z wytłumaczeniem mi tego ciężko idzie, ale dziękuję za chęci

[Harry Xin]

\(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}=- \frac{-1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}= \frac{4}{2}}\)

Możesz mi wytłumaczyć jak przeszłaś w ten sposób bo nie mogę ogarnąć?
Jako kolejną nierówność (to mają być nierówności) masz iloczyn i to w nim pojawi się parametr.
Ponadto w delcie też się pojawi.

Wskazówka:

\(\displaystyle{ a=2 \\ b=-1 \\ c=-3m+1}\)

[magda1953]

Tam powinno być w tym drugim 0,5 chyba...
A a b i c już miałam ;p
\(\displaystyle{ x _{1}x_{2}= \frac{-3m+1}{2}}\)

[Harry Xin]

Tylko że to mają być nierówności...
Każda z nich będzie miała jakieś rozwiązanie.
Na koniec obliczasz część wspólną.

A więc dla:

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}>0}\)

otrzymujesz:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}>0}\)

co jest spełnione dla wszystkich liczb rzeczywistych. Kolejne przypadki rozpatrujesz analogicznie.

Iloczyn widzę, że dobrze zaczynasz, sugerując się Twoim postem wyżej.

[magda1953]

Co dalej robić ? Chciałabym już rozwiązać to zadanie...

[Harry Xin]

Iloczyn ma być większy od zera, więc:

\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}>0\Rightarrow\frac{-3m+1}{2}>0}\)

I teraz masz do rozwiązania taką nierówność.

Podobnie postępujesz dla delty a na koniec bierzesz pod uwagę część wspólną wszystkich rozwiązań.

[magda1953]

Problem w tym że nie potrafię tego rozwiązać Spore zaległości ;( Jeśli ktoś mógłby dokończyć byłabym wdzięczna.

[Harry Xin]

Mogę Ci pokazać analogiczny przykład.

Weźmy sobie taką nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{2b+12}{3}>0}\)

Rozwiązuje się to tak:

Mnożymy obie strony nierówności przez mianownik (jest dodatni, więc nie zmieniamy znaku):

\(\displaystyle{ 2b+12>0}\)

Teraz przenosimy stałe na drugą stronę, zmieniając przy tym jej znak (tu chodzi o liczbę 12):

\(\displaystyle{ 2b>-12}\)

Na koniec dzielimy obustronnie przez stałą znajdującą się przed naszą zmienną b - tu jest to liczba 2. Skoro jest ona większa od zera to znak nierówności nie ulega zmianie.

\(\displaystyle{ b>-6}\)

Spróbuj swoją rozwiązać analogicznie.

[magda1953]

\(\displaystyle{ \frac{-3m+1}{2}>0}\)

\(\displaystyle{ -3m+1>o}\)

\(\displaystyle{ -3m>-1}\) /-3

\(\displaystyle{ m< \frac{1}{3}}\) a co dalej?
głupi błąd ;(