Dlaczego granica tego ciągu = 1???

[dawido000]

Dlaczego granica poniższego ciągu wychodzi 1? Jak to wyliczyć? Jak to stwierdzić? Z jakich kryteriów to wynika?
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n}-1} = 1}\)

[bedbet]

Skrótowo można powiedzieć, że "stopień licznika" jest taki sam jak "stopień mianownika", a więc granica będzie równa ilorazowi współczynników przy najwyższych potęgach.

[Morgoth]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{(\sqrt{n+1}-1) \cdot (\sqrt{n+1}+1)}{(\sqrt{n}-1)\cdot (\sqrt{n+1}+1)} = po wykonaniu = lim_{n\to\infty} \frac{n}{n \cdot ( \sqrt{1 + \frac{1}{n} }+ \sqrt{\frac{1}{n}} - \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{1}{n ^{2} }} - \frac{1}{n})} = \frac{1}{1 + 0-0-0}=1}\)

[bedbet]

Morgoth po co mnożysz przez sprzężenie?

[Morgoth]

bo nie jestem pewien czy \(\displaystyle{ \frac{ \infty }{ \infty }}\) nie jest przypadkiem symbolem nieoznaczonym. Tak dla bezpieczeństwa.

[abc666]

Ale od razu możesz wyłączyć n i na to samo wyjdzie

[Morgoth]

Ale od razu możesz wyłączyć n i na to samo wyjdzie

Więc przedstaw swoje rozumowanie. Bo jak na mój gust wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\), co jest symbolem nieoznaczonym

[abc666]

Znaczy nie chodzi o to że \(\displaystyle{ n}\) jako \(\displaystyle{ n^1}\) tylko w najwyższej potędze (tu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\))

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt{n}( \sqrt{1+ \frac{1}{n} } ) }{ \sqrt{n}(1- \frac{1}{ \sqrt{n} } ) }}\)

[Morgoth]

Racja. Popadłem w schemat. Dzięki