Witam,
mam spory problem z następującym układem równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}12^{Log_{6}x}+2^{Log_{6}y}= (\frac{3}{2})^ {\frac{1}{3}} \\ Log_{6}x + Log_{6}y = - \frac{2}{3} \end{cases}}\)
Byłbym wdzięczny za jakąś wskazówkę bo nie mam pojęcia jak się do tego zabrać:) Nawet Mathematica nie dała rady, więc pewnie trzeba coś nietypowego zrobić.
Ciekawy układ równań
-
Harry Xin
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 9 sie 2007, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 148 razy
- Pomógł: 83 razy
Ciekawy układ równań
Może niekoniecznie trzeba się uciekać do nietypowych metod co wynik wychodzi nieciekawy.
Zajmij się najpierw drugim równaniem. Zsumuj logarytmy, skorzystaj z definicji logarytmu i wyznacz sobie jedną ze zmiennych. Podstaw do pierwszego równania i już powinno pójść. Jakbyś się gdzieś zaciął to napisz dokładnie, w którym momencie.
Zajmij się najpierw drugim równaniem. Zsumuj logarytmy, skorzystaj z definicji logarytmu i wyznacz sobie jedną ze zmiennych. Podstaw do pierwszego równania i już powinno pójść. Jakbyś się gdzieś zaciął to napisz dokładnie, w którym momencie.
Ciekawy układ równań
To nie jest takie proste, już trochę spędziłem nad tym przykładem =)
Z drugiego równania wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{6^{ \frac{2}{3}} }=xy}\)
Przekształcam pierwsze równanie:
\(\displaystyle{ x*2^{log_{6}2}+y^{log_{6}2}= (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}}\)
Po wyznaczeniu z tego y z drugiego równania i podstawieniu do pierwszego otrzymuję po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ x*x^{log_{6}2}+2^{-\frac{2}{3}}*x^{-log_{6}2}=(\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}}\)
Nie wiem jak wyznaczyć z tego x...
Próbowałem też podstawień (\(\displaystyle{ a=log_{6}x}\)) oraz wyznaczenia z drugiego równania \(\displaystyle{ log_{6}x}\) i podstawienia tego do pierwszego,ale wszystko to prowadzi do podobnych równań, stąd wniosek że trzeba coś tutaj zauważyć. Poza tym zadanie jest autorstwa p. Pawłowskiego
Z drugiego równania wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{6^{ \frac{2}{3}} }=xy}\)
Przekształcam pierwsze równanie:
\(\displaystyle{ x*2^{log_{6}2}+y^{log_{6}2}= (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}}\)
Po wyznaczeniu z tego y z drugiego równania i podstawieniu do pierwszego otrzymuję po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ x*x^{log_{6}2}+2^{-\frac{2}{3}}*x^{-log_{6}2}=(\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}}\)
Nie wiem jak wyznaczyć z tego x...
Próbowałem też podstawień (\(\displaystyle{ a=log_{6}x}\)) oraz wyznaczenia z drugiego równania \(\displaystyle{ log_{6}x}\) i podstawienia tego do pierwszego,ale wszystko to prowadzi do podobnych równań, stąd wniosek że trzeba coś tutaj zauważyć. Poza tym zadanie jest autorstwa p. Pawłowskiego
Ciekawy układ równań
Przekształcam pierwsze równanie:
\(\displaystyle{ 12^{log_{6}x}+2^{log_{6}y} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}
6^ {log_{6}x} * 2^{log_{6}x}+2^{log_{6}y} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}
x*2^{\frac{log_{2}x}{log_{2}6}} + 2^{\frac{log_{2}y}{log_{2}6}} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}
x*x^{log_{6}2}+y^{log_{6}2} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ y = \frac{1}{6^{\frac{2}{3}}*x}}\)
\(\displaystyle{ x*x^{log_{6}2} + (6^{-\frac{2}{3}}*x^{-1})^{log_{6}2} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}
x*x^{log_{6}2} + 2^{-\frac{2}{3}}*x^{-log_{6}2} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}}\)
Po prostu stwierdziłem ze taka forma będzie najprostsza:)
\(\displaystyle{ 12^{log_{6}x}+2^{log_{6}y} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}
6^ {log_{6}x} * 2^{log_{6}x}+2^{log_{6}y} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}
x*2^{\frac{log_{2}x}{log_{2}6}} + 2^{\frac{log_{2}y}{log_{2}6}} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}
x*x^{log_{6}2}+y^{log_{6}2} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ y = \frac{1}{6^{\frac{2}{3}}*x}}\)
\(\displaystyle{ x*x^{log_{6}2} + (6^{-\frac{2}{3}}*x^{-1})^{log_{6}2} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}
x*x^{log_{6}2} + 2^{-\frac{2}{3}}*x^{-log_{6}2} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}}\)
Po prostu stwierdziłem ze taka forma będzie najprostsza:)