granice funkcji

[q]

witam mam kilka pytanek

1. czy moj tok rozumowania przy liczeniu tej granicy jest dobry??
\(\displaystyle{ \large \lim_{x\to0} \frac{cos x - cos 3x}{x^2} = \lim_{x\to0} \frac{-2 sin2x sin(-x)}{-x -x} = \lim_{x\to0} \frac{-4 sin 2x sin (-x)}{-1 2x -x} = 4}\)

2. czy ta granica jest policzona poprawnie:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to1} (1-x) tg\frac{\pi x}{2} = 0}\)

jeżeli nie to prosze o pomoc jak to zrobic.

3. jak policzyc granice takiej funkcji:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{(2x+3)^{20}(3x+2)^{30}}{(2x+1)^{50}}}\)

Z gory dziekuje za pomocne posty.

[bolo]

3. Wyłączenie x przed nawias celem skrócenia:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{(2x+3)^{20}(3x+2)^{30}}{(2x+1)^{50}} =\lim_{x\to\infty} \frac{x^{20}(2+\frac{3}{x})^{20}\cdot x^{30}(3+\frac{2}{x})^{30}}{x^{50}(2+\frac{1}{x})^{50}}=\lim_{x\to\infty} \frac{(2+\frac{3}{x})^{20}\cdot (3+\frac{2}{x})^{30}}{(2+\frac{1}{x})^{50}}=\frac{2^{20}\cdot 3^{30}}{2^{50}}=\frac{3^{30}}{2^{30}}=(\frac{3}{2})^{30}}\)

[abrasax]

1. ok
2. otrzymujemy symbil nieoznaczony \(\displaystyle{ 0 \cdot \infty}\), doprowadzamy do \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \ (1-x)tg \frac{\pi x}{2}= \lim_{x \to 1} \ \frac{(1-x)}{ctg \frac{\pi x}{2}}}\)
teraz z de l'Hospitala
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \ \frac{-1}{- \frac{1}{sin^2(\frac{\pi x}{2})} \cdot \frac{\pi}{2}}= \frac{2}{ \pi}}\)

[q]

Wielkie dzieki wam obojgu!! Mam jeszcze takie male pytanie, czy ta granice w 3 przykladzie da sie obliczyc bez stosowania reguly de l"Hospitala??

[abrasax]

w 3 nie stosujesz de l'Hospitala, tylko wyciągasz x przed nawias i korzystasz z tego, że 1/x, przy x dążącym do nieskończoności dąży do zera.

[bolo]

Ale ten drugi przykład dało się zrobić bez "szpitala", były tam jakieś chytre sztuczki pod tangensem i w jego okolicach. Na końcu dochodząc do równości asymptotycznej wychodziło to samo. Jednak musiałbym sobie poprzypominać...