Funkcja zmiennej zespolonej - 1 zad

[ori-jackass]

Witam nie mogę sobie poradzić z jednym zadankiem, a potrzebuję je na wczoraj

wyznacz f(z) wiedząc że funkcja jest holomorficzna i \(\displaystyle{ U(x,y) = x^{3}-3xy ^{2}+x}\)

proszę o pomoc

[luka52]

Skoro funkcja, która mamy wyznaczyć jest holomorficzna, to spełnia ona równania Cauchy'ego-Riemanna.
Zakładając, że \(\displaystyle{ U}\) oznacza część rzeczywistą funkcji \(\displaystyle{ f}\), pozostaje nam wyznaczyć część urojoną - standardowo niech \(\displaystyle{ V}\) oznacza część urojoną.
Obliczając kolejne pochodne po \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) z funkcji \(\displaystyle{ U}\) podstawiamy je do równań Cauchy'ego-Riemanna:

\(\displaystyle{ \begin{array}{rcl} 3x^2 - 3y^2 + 1 & = & \frac{ \partial V}{ \partial y} \\ -6xy & = & -\frac{ \partial V}{ \partial x} \end{array}}\)

Z drugiego równania natychmiast możemy wyznaczyć, iż \(\displaystyle{ V = 3x^2y + \varphi(y)}\). Podstawiając ten wynik do pierwszego równania otrzymamy:

\(\displaystyle{ 3x^2 - 3y^2 + 1 = 3x^2 + \varphi ' (y)}\)

Proste rachunki pozwalają pokazują, że \(\displaystyle{ \varphi (y) = y - y^3 + C}\).
Znając \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) wyznaczmy \(\displaystyle{ f}\). W tym celu możemy zapisać:

\(\displaystyle{ $ \begin{eqnarray*} f(z) & = & U(x,y) + i V(x,y) = x^3 - 3 xy^2 + x + i(y - y^3 + 3 x^2 y + C) \\ & = & (x+iy)^3 + ( x+ iy) + i C = z^3 + z + i C \end{eqnarray*}}\)

[ori-jackass]

a co z \(\displaystyle{ U(x,y) = xe ^{x}cosy - e ^{x}ysiny}\)

[luka52]

Sposób rozwiązania jest analogiczny!