Długosc łuku krzywej

[kooler2000]

Witam !
Mam kilka zdań tego typu, większość zrobiłem a jedno nie daje mi spokoju - może źle kombinuje:(
Wygląda ono tak:
Obliczyć dł. łuku krzywej funkcji: \(\displaystyle{ y=ln(1- x^{2} )}\) w \(\displaystyle{ 0 \le x \le \frac{2}{3}}\)
Obliczyłem, ze przedział należy do dziedziny funkcji, wiec granice całkowania będa taki jak przedział, a bd to \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{2}{3} } \sqrt{1+ (\frac{-2x}{1- x^{2})^{2} } }}\) Może tu jest byk?? - jakoś nie umiem tego zrobić potem - więc proszę aby mi ktoś pomógł - najlepiej krok po kroku, bo wynik mam podany:P Sory, za błąd w texie - całość ma byc pod pierwiastkiem do kwadratu

[kuch2r]

Jeśli krzywa jest dana w postaci
\(\displaystyle{ y=f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x\in<a,b>}\)
Wówczas długość liczymy wg wzoru
\(\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+(y'_x)^2}\ dx}\)

[meninio]

Powinno być: \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{2}{3} } \sqrt{1+ \frac{4x^2}{\left(1- x^{2}\right)^{2} } } \mbox{d}x = \ldots \int_{0}^{ \frac{2}{3} } \frac{1+x^2}{1-x^2} \mbox{d}x=\ldots}\)

[fkszczepanik]

hej, mógłbyś napisać, jak się pozbyłeś tego pierwiastka?

[Mariusz M]

hej, mógłbyś napisać, jak się pozbyłeś tego pierwiastka?

\(\displaystyle{ \left( 1-x^2\right)^2+4x^2=1-2x^2+x^4+4x^2=1+2x^2+x^4= \left( 1+x^2\right)^2}\)

\(\displaystyle{ 1= \frac{ \left( 1-x^2\right)^2 }{ \left( 1-x^2\right) ^2}}\)

[fkszczepanik]

dzięki! teraz to widzę;)

-- 1 kwi 2009, o 20:21 --

heh, dobra, idąc dalej... znowu natrafiłam na przeszkodę - nie mogę wyliczyć tej całki:
\(\displaystyle{ \int \frac{1+x^2}{1-x^2}}\)

próbowałam ją rozbić w ten sposób:
\(\displaystyle{ - \int \frac{1+x^2 -1+1}{x^2 -1} \mbox{d}x = - \int \mbox{d}x}\) \(\displaystyle{ - \int \frac{2}{x^2 -1} \mbox{d}x}\)

ale to chyba nic nie daje, bo nie wiem co dalej z tą drugą! pomocy!

[Mariusz M]

dzięki! teraz to widzę;)

-- 1 kwi 2009, o 20:21 --

heh, dobra, idąc dalej... znowu natrafiłam na przeszkodę - nie mogę wyliczyć tej całki:
\(\displaystyle{ \int{\frac{1+x^2}{1-x^2}}}\)

próbowałam ją rozbić w ten sposób:
\(\displaystyle{ - \int{ \frac{1+x^2 -1+1}{x^2 -1} \mbox{d}x} = - \int{ \mbox{d}x}- \int{ \frac{2}{x^2 -1} \mbox{d}x}}\)

ale to chyba nic nie daje, bo nie wiem co dalej z tą drugą! pomocy!

\(\displaystyle{ \frac{2}{x^2-1}= \frac{1}{x-1}- \frac{1}{x+1}}\)

[fkszczepanik]

teraz jakie podstawienie?

[Mariusz M]

teraz jakie podstawienie?

Nie teraz logarytm

[fkszczepanik]

o jeju, jestem najgł. na świecie. w liczniku pochodna mianownika.. czemu ja tego nie widzę....
*jutro mam koło z całek.

-- 2 kwi 2009, o 00:41 --

no ładnie, jeszcze po tych wszystkich trudach długość łuku mi wychodzi ujemna...

\(\displaystyle{ - \frac{2}{3}+ln \frac{1}{3} -ln 5}\)

[Mariusz M]

o jeju, jestem najgł. na świecie. w liczniku pochodna mianownika.. czemu ja tego nie widzę....
*jutro mam koło z całek.

-- 2 kwi 2009, o 00:41 --

no ładnie, jeszcze po tych wszystkich trudach długość łuku mi wychodzi ujemna...

\(\displaystyle{ - \frac{2}{3}+ln \frac{1}{3} -ln 5}\)

Życzę powodzenia
Oprócz tego że trzeba się nauczyć na colloquium
to równie ważne jest się przed nim porządnie wyspać
Jeżeli się wyśpisz i najesz mózg będzie lepiej pracował i jakoś tam będzie
(Na marginesie dodam że ja gdy miałem mieć sprawdzian z całek nie mogłem zasnąć
Efektem było to że dostałem niedostateczny)

Długość łuku

\(\displaystyle{ \ln{5}- \frac{2}{3}}\)

czyli dodatnia

[fkszczepanik]

thx!