W pewnym cyklotronie służącym do przyspieszania protonów wewnętrzny promień duantów równy jest \(\displaystyle{ \mathrm{0,5m}}\). Amplituda zmiennego napięcia między duantami wynosi \(\displaystyle{ \mathrm{20kV}}\). Maksymalna energia protonów opuszczających obszar duantów wynosi \(\displaystyle{ \mathrm{20MeV}}\). Pomiń efekty relatywistyczne i załóż, że pole magnetyczne w obszarze duantów jest stałe i jednorodne. Zaniedbaj czas pobytu protonu między duantami.
a)Oblicz wartość indukcji pola w obu duantach.
b)Oblicz czas trwania jednego pełnego cyklu przyspieszenia protonu o energii \(\displaystyle{ \mathrm{20MeV}}\)
c)Oblicz promień duantów cyklotronu w którym przy zastosowaniu pola magnetycznego o tej samej indukcji przyspieszyłoby proton do czterokrotnie mniejszej energii.
Cyklotron - przyspieszanie protonów
-
swpok
- Użytkownik
- Posty: 204
- Rejestracja: 15 wrz 2008, o 22:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Syreni gród.
- Pomógł: 37 razy
Cyklotron - przyspieszanie protonów
Niechaj \(\displaystyle{ V_{k}}\) będzie szybkością końcową protonu w cyklotronie, \(\displaystyle{ E_{kk}}\) końcową energią kinetyczną, a \(\displaystyle{ R}\) promieniem duanta.
a)
Należy zauważyć, iż proton uzyskuje szybkość końcową dla ostatniego obiegu tj. promień okręgu zataczanego przez proton jest równy w przybliżeniu promieniowi duanta. Stąd, zgodnie z zasadą, iż siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej w tego typu ruchach :
\(\displaystyle{ B * e * V_{k} = \frac{m_{p}V_{k}^2}{R}}\)
\(\displaystyle{ B = \frac{mV_{k}}{eR}}\)
\(\displaystyle{ E_{kk} = \frac{m_{p}V_{k}^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ V_{k} = \sqrt{ \frac{2E_{kk}}{m_{p}} }}\)
Zatem :
\(\displaystyle{ B = \frac{m \sqrt{ \frac{2E_{kk}}{m_{p}} } }{eR}}\)
b) Fundamentalnym warunkiem działania cyklotronu jest warunek rezonansu tj. okres cząstki równa się okresowi prądu przemiennego. Całkowity czas przyspieszania cząsteczki równy jest iloczynowi liczby obiegów i okresu generatora. Oznaczmy liczbę obiegów przez \(\displaystyle{ n}\),a amplituda prądu przemiennego niechaj będzie \(\displaystyle{ U_{0}}\). Stąd :
\(\displaystyle{ t_{cal} = n * T}\)
\(\displaystyle{ E_{kk} = U_{0} * e * 2n}\) - Należy zauważyć, że podczas jednego obiegu cząsteczka zostaje przyspieszona dwukrotnie.
\(\displaystyle{ n = \frac{E_{kk}}{U_{0} * e * 2}}\)
Teraz przejdźmy do okresu :
\(\displaystyle{ T_{czastki} = T_{gen} = \frac{2 \pi R}{V_{k}} = \frac{2 \pi R * m_{p} * V_{k} }{ V_{k}* B * e}}\)
Wystarczy podstawić do wzoru pierwszego.
c) Z warunku na siłę Lorentza :
\(\displaystyle{ R = \frac{mV_{k}}{Be}}\)
\(\displaystyle{ E_{kk} = \frac{mV_{k}^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ p^2 = m_{p}^2 * V_{k}^2 = 2m * \frac{mV_{k}^2}{2} = 2m * E_{kk}}\)
Zatem :
\(\displaystyle{ p = \sqrt{ 2m * E_{kk}}}\)
Stąd :
\(\displaystyle{ R = \frac{\sqrt{ 2m * E_{kk}}}{Be}}\)
\(\displaystyle{ R_{1} = \frac{\sqrt{ 2m * \frac{1}{4} E_{kk}}}{Be}}\)
\(\displaystyle{ R_{1} = \frac{1}{2} * \frac{\sqrt{ 2m * E_{kk}}}{Be}}\)
\(\displaystyle{ R_{1} = \frac{1}{2} * R}\)
Uff ... ;-]
a)
Należy zauważyć, iż proton uzyskuje szybkość końcową dla ostatniego obiegu tj. promień okręgu zataczanego przez proton jest równy w przybliżeniu promieniowi duanta. Stąd, zgodnie z zasadą, iż siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej w tego typu ruchach :
\(\displaystyle{ B * e * V_{k} = \frac{m_{p}V_{k}^2}{R}}\)
\(\displaystyle{ B = \frac{mV_{k}}{eR}}\)
\(\displaystyle{ E_{kk} = \frac{m_{p}V_{k}^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ V_{k} = \sqrt{ \frac{2E_{kk}}{m_{p}} }}\)
Zatem :
\(\displaystyle{ B = \frac{m \sqrt{ \frac{2E_{kk}}{m_{p}} } }{eR}}\)
b) Fundamentalnym warunkiem działania cyklotronu jest warunek rezonansu tj. okres cząstki równa się okresowi prądu przemiennego. Całkowity czas przyspieszania cząsteczki równy jest iloczynowi liczby obiegów i okresu generatora. Oznaczmy liczbę obiegów przez \(\displaystyle{ n}\),a amplituda prądu przemiennego niechaj będzie \(\displaystyle{ U_{0}}\). Stąd :
\(\displaystyle{ t_{cal} = n * T}\)
\(\displaystyle{ E_{kk} = U_{0} * e * 2n}\) - Należy zauważyć, że podczas jednego obiegu cząsteczka zostaje przyspieszona dwukrotnie.
\(\displaystyle{ n = \frac{E_{kk}}{U_{0} * e * 2}}\)
Teraz przejdźmy do okresu :
\(\displaystyle{ T_{czastki} = T_{gen} = \frac{2 \pi R}{V_{k}} = \frac{2 \pi R * m_{p} * V_{k} }{ V_{k}* B * e}}\)
Wystarczy podstawić do wzoru pierwszego.
c) Z warunku na siłę Lorentza :
\(\displaystyle{ R = \frac{mV_{k}}{Be}}\)
\(\displaystyle{ E_{kk} = \frac{mV_{k}^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ p^2 = m_{p}^2 * V_{k}^2 = 2m * \frac{mV_{k}^2}{2} = 2m * E_{kk}}\)
Zatem :
\(\displaystyle{ p = \sqrt{ 2m * E_{kk}}}\)
Stąd :
\(\displaystyle{ R = \frac{\sqrt{ 2m * E_{kk}}}{Be}}\)
\(\displaystyle{ R_{1} = \frac{\sqrt{ 2m * \frac{1}{4} E_{kk}}}{Be}}\)
\(\displaystyle{ R_{1} = \frac{1}{2} * \frac{\sqrt{ 2m * E_{kk}}}{Be}}\)
\(\displaystyle{ R_{1} = \frac{1}{2} * R}\)
Uff ... ;-]