R. różnicz. o rozdzielonych zmiennych

[piotrek1718]

\(\displaystyle{ tgx \cdot sin^2y + cos^2 x \cdot (ctgy)y' = 0}\)

Z tego wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{-sinx \cdot sin^3 y}{cos^3 x \cdot cos y}}\)

Po scałkowaniu (przez podstawienie) mam: \(\displaystyle{ \frac{1}{2sin^2y} = \frac{1}{2cos^2x} + C}\)

Czy mogę zrobić tak: \(\displaystyle{ \frac{1}{2sin^2y} = \frac{1}{2(cos^2x + C_1)}}\)

I dalej tak:
\(\displaystyle{ sin^2 y = cos^2x + C_1}\)
\(\displaystyle{ sin y = \sqrt{cos^2x + C_1}}\)
\(\displaystyle{ y = arc sin \left( \sqrt{cos^2x + C_1} \right)}\)

Proszę o odpowiedź, pozdrawiam.

[crimlee]

ogólnie dobrze ale uwaga:

\(\displaystyle{ \sin y = \sqrt{\cos^2 x+ C_1} \vee sin y = -\sqrt{\cos^2 x+ C_1}}\)

(wic dwie sytuacje)

[meninio]

Po scałkowaniu (przez podstawienie) mam: \(\displaystyle{ \frac{1}{2sin^2y} = \frac{1}{2cos^2x} + C}\)

Czy mogę zrobić tak: \(\displaystyle{ \frac{1}{2sin^2y} = \frac{1}{2(cos^2x + C_1)}}\)

Nie.

[piotrek1718]

Meninio, A dlaczego nie można tak zrobić?

Jeśli mamy np. coś takiego:
\(\displaystyle{ ln \left|y \right| = ln \left|x \right| + C = ln \left|x \right| + ln \left|C_1 \right| = ln \left|C_1x \right|}\)
\(\displaystyle{ y = C_1x}\)

Sugerowałem się takim przypadkiem

[meninio]

Meninio, A dlaczego nie można tak zrobić?

Jeśli mamy np. coś takiego:
\(\displaystyle{ ln \left|y \right| = ln \left|x \right| + C = ln \left|x \right| + ln \left|C_1 \right| = ln \left|C_1x \right|}\)
\(\displaystyle{ y = C_1x}\)

Sugerowałem się takim przypadkiem

No to jest dobrze.
A pokaż mi w jaki sposób przejdziesz z \(\displaystyle{ \frac{1}{2\cos^2x}+C_1}\) do \(\displaystyle{ \frac{1}{2\cos^2x+C_2}}\)

[piotrek1718]

Hm.. rzeczywiście ciężko, chyba się nie da wyrazić C1 za pomocą C...
A to by znacznie ułatwiło zadanie, ale w takim przypadku należy postąpić tak(?):

\(\displaystyle{ \frac{1}{2sin^2y} = \frac{1}{2cos^2x} + C}\)
Wspólny mianownik:
\(\displaystyle{ \frac{1}{sin^2y} = \frac{1 + C*2cos^2x}{cos^2x}}\)

\(\displaystyle{ sin^2 y = \frac{cos^2x}{1 + 2C*cos^2x} \Rightarrow siny= \sqrt{\frac{cos^2x}{1 + 2C*cos^2x}}}\)

\(\displaystyle{ y = arc sin \left( \sqrt{\frac{cos^2x}{1 + 2C*cos^2x}} \right)}\)

Dobrze?

[meninio]

Dobrze. Licznik możesz spierwiastkować.