Równanie prostej, równanie płaszczyzny.

[faraus]

1) Przedstawić równanie prostej l : \(\displaystyle{ \begin{cases} 3x - 2y + 5z -1 = 0 \\ 2x - y + 2z - 2 = 0 \end{cases}}\) w postaci kanonicznej i parametrycznej.
2)Znaleźć równania prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A(2,-1,3)}\) i prostopadłej do płaszczyzn x+y+z=0 i x-y=0
3)Wyznaczyć równanie płaszczyzny zawierające proste:
\(\displaystyle{ l _{1}:}\)\(\displaystyle{ \frac{x-3}{-2}= \frac{y-1}{3}= \frac{z-2}{1}}\) \(\displaystyle{ l _{2}:}\)\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1-2t \\\ y=3t \\z=3+t \end{cases}}\)

[chris_stargard]

1. wprowadzasz t=z

\(\displaystyle{ \begin{cases}3x-2y=1-5t\\2x-y=2-2t \end{cases}}\)
po wyliczeniu układu równań powinieneś otrzymać:
x=1+t, y=4t, z=t. z tego możesz określić wektor kierunkowy prostej: a=[1,4,1] oraz P(1,0,0)

teraz tylko wystarczy podstawić:
postać kanoniczna:
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{1}= \frac{y}{4}=\frac{z}{1}}\)

postać parametryczna:
l: (x,y,z)=(1,0,0)+t(1,4,1)
\(\displaystyle{ \begin {cases}x=1+t\\y=4t\\z=t\end{cases}}\)

2. jeśli mnie moja wyobraźnia nie myli, prosta ta powinna być równoległa do krawędzi płaszczyzn.
więc powinna być równoległa do iloczynu wektorowego wektorów normalnych obu pł.
\(\displaystyle{ N _{1} \times N _{2} =a}\)
\(\displaystyle{ a=[1,1,-2]}\)
teraz wystarczy stworzyć prostą o wektorze kierunkowym a i przechodzącą przez punkt A
\(\displaystyle{ l: (x,y,z)=(2,-1,3)+(1,1,-2)t}\)
i ewentualnie zamienić na wygodniejszą postać

3. niestety proste te są równoległe (iloczyn wektorowy wektorów kierunkowy =0).
Ale myślę, że można zrobić wektor z punktów leżących na obu prostych:) z równań obu prostych wyznaczamy P1(3,1,2) i P2(1,0,3). Tworzymy wektor P1P2=[-2,4,8]=2[-1,2,4].
Teraz wyznaczamy wektor normalny szukanej płaszczyzny z iloczynu wektorowego wektora kierunkowego obu prostych i wektora P1P2. Mi wyszło N=[-1,2,4]. Teraz obieramy dowolny punkt należący np. do prostej l2, za t podstawmy powiedzmy 1, otrzymamy punkt B(-1,3,4).
Teraz wystarczy z równania A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 stworzyć płaszczyznę podstawiając dane punktu B(x0,y0,z0) oraz wektora normalnego N=[A,B,C]
Mi wyszło
-x+2y+4z-23=0

[faraus]

Co do pierwszego zadania to nie jestem pewien ze względu na to, że odczytałeś współrzędne wektora kierunkowego prostej z parametru z, który przecież nie przedstawia tego wektora. Ja zrobiłem to zadanie w ten sposób, że również za z przyjąłem parametr \(\displaystyle{ t\in R}\) i w ten sposób podstawiając za t dowolną wartość otrzymasz \(\displaystyle{ P_{0}}\). A wektor kierunkowy otrzymałem z iloczynu wektorowego 2 płaszczyzn.
Co do drugiego: prosta prostopadła do 2 płaszczyzn jest równoległa do ich krawędzi? Może i tak ale byłaby to prostopadłość w której prosta nie przecina się z płaszczyznami.
Co do trzeciego: skoro proste są równoległe w tym przypadku pokrywają się i kąt miedzy nimi jest 0, więc iloczyn wektorowy też powinien wynosić 0.

[chris_stargard]

Ad.1 Napisałem równanie prostej względem parametru z, ponieważ mamy 2 równania i 3 niewiadome, więc rozwiązania będą względem jakiegoś parametru. Hmmm ale faktycznie, powinno się wyznaczyć wektory normalne obu płaszczyzn tworzących prostą, następnie zrobić ich iloczyn wektorowy. Potem o ile żadna z liczb w tym iloczynie nie wynosi 0, to podstawiamy np za nią zero, i obliczamy tym sposobem układ, co nam da współrzędne punktu. Z punktu i iloczynu wektorowego tworzymy równania prostej.

Mi wyszło tym sposobem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=-8+4t \\ z=-3+t \end{cases}}\) - parametryczne
\(\displaystyle{ \frac{x}{1} =\frac{y+8}{4}=\frac{z+4}{1}}\)

Ad.2 A gdzieś pisze że ta prosta musi się przecinać? Nie mogę sobie wyobrazić jakby to mogło inaczej wyglądać, skoro płaszczyzny nie są równoległe, a prosta ma być prostopadła do obu. Bo z tego co wiem, prosta jest prostopadła do płaszczyzny, jeżeli jest prostopadła do dwóch prostych należących do niej. Zaraz jeszcze spróbuje coś wykombinować

Ad.3 Oczywiście, iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych obu prostych równoległych wynosi zero, bo wektory te są identyczne, dlatego to jest szczególny przypadek. Proste te różnią się jedynie "punktem przyłożenia w przestrzeni" (tak to przynajmniej widzę). Ale przecież znamy również punkty które leżą na tych prostych i możemy je odczytać z równań. Dlatego wykorzystałem je i zrobiłem z nich wektor, który następnie wymnożyłem wektorowo z wektorem kierunkowym.