udowodnij że liczba jest podzielna

[menus20]

udowodnij że \(\displaystyle{ \wedge n \in N _{+}}\) liczba \(\displaystyle{ n ^{3} + 17n}\)jest podzielna przez 6

[Artist]

Sprawdzenie dla n=1 .......
Założenie
\(\displaystyle{ k^{3}+17k=6l}\)
Teza
\(\displaystyle{ (k+1)^{3}+17(k+1)=6n}\)
\(\displaystyle{ (k+1)^{3}+17(k+1)=k^{3}+3k^{2}+3k+1+17k+17=(k^{3}+17k)+3k^{2}+3k+18=6l+3(k^{2}+k+6)=6l+3[k\cdot(k+1)+6]}\)
Wyrażenie w ostatnim nawiasie jest zawsze parzyste jako suma iloczynu dwóch kolejnych liczb naturalnych i 6, więc całość jest podzielna przez 6.

[Liz_47]

hmmm... mam bardzo podobne zadanie - tyle, że rozwijanie trzynastej potęgi chyba nie wchodzi w grę... co prawda rozwinęłam sobie i dobrze wyszło, ale jakoś mnie ten sposób nie zadowala... a już szczególnie nie zadowoli profesora od teorii liczb ;] jeśli ma ktoś jakiś pomysł to bardzo proszę o pomoc

Udowodnij, że \(\displaystyle{ \wedge n \in N _{+}}\) liczba \(\displaystyle{ n ^{13} - n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 13}\).

[Rush]

Udowodnij, że \(\displaystyle{ \wedge n \in N _{+} liczba n ^{13} - n jest podzielna przez 13}\) .

Tutaj teza wynika bezpośrednio z Małego Twierdzenia Fermata, gdyż 13 jest liczbą pierwszą.