Nie wiem nawet jak zacząć rozwiązywać to zadanie i będę wdzięczna za pomoc:
Znajdź zbiór środków wszystkich cieciw okręgu \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}+4y+3=0}\) wyznaczone przez proste przechodzące przez punkt P(0,1).
Z góry dziękuję za pomoc:)
znajdź zbiór środków cięciw.
-
klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1979
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
znajdź zbiór środków cięciw.
okrąg \(\displaystyle{ x^2+(y+2)^2=1}\). każda prosta o podanej własności ma równanie y=ax+1, gdzie zakres zmienności a jest ograniczony przez warunek przecięcia prostej z okręgiem - końce przedziału zmienności wyznaczone są przez te wartości a, dla których prosta o takiej postaci jest styczna do okręgu. znajdujemy punkty przecięcia prostej i okręgu, rozwiązując układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x^2+(y+2)^2=1 \\
y=ax+1 \end{cases}}\)
podstawiamy: \(\displaystyle{ x^2+(ax+3)^2=1,\ x^2(1+a^2)+6ax+8=0}\). wyznaczasz x1,x2, a potem odpowiadające im y1 i y2 - to są końce cięciwy. znajdujesz środek cięciwy, powinno wyjść (koniecznie sprawdź, często się mylę): \(\displaystyle{ (\frac{-3a}{1+a^2}, \frac{-3a^2}{1+a^2}+1)}\). gdy a się zmienia, punkt o tych współrzędnych zakreśla szukaną krzywą. na dobrą sprawę, można na tym skończyć, bo mamy równanie parametryczne tej krzywej i każdy dobry program do kreślenia wykresów krzywych ją narysuje, ale zazwyczaj idzie się krok dalej: pierwsza współrzędna to x, druga y - szukamy zależności typu y=y(x), albo czegoś podobnego. mamy więc \(\displaystyle{ x=\frac{-3a}{1+a^2}}\) i \(\displaystyle{ y=\frac{-3a^2}{1+a^2}+1=ax+1}\). chodzi o to, by z tej zależności wyeliminować a przy pomocy wzoru na x. wzór ten po przekształceniu daje równanie kwadratowe na a, z którego mamy (sprawdź, często się mylę!): \(\displaystyle{ a=\frac{-3\pm\sqrt{9-4x^2}}{2x}}\). po podstawieniu do wzoru na y: \(\displaystyle{ y=-3/2\pm\sqrt{9-4x^2}/2+1}\) czyli \(\displaystyle{ y+1/2=\pm\sqrt{9-4x^}/2}\), a po podniesieniu do kwadratu \(\displaystyle{ (y+1/2)^2=9/4-x^2,\ (y+1/2)^2+x^2=9/4}\). okrąg? (tzn. jego kawałek)
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x^2+(y+2)^2=1 \\
y=ax+1 \end{cases}}\)
podstawiamy: \(\displaystyle{ x^2+(ax+3)^2=1,\ x^2(1+a^2)+6ax+8=0}\). wyznaczasz x1,x2, a potem odpowiadające im y1 i y2 - to są końce cięciwy. znajdujesz środek cięciwy, powinno wyjść (koniecznie sprawdź, często się mylę): \(\displaystyle{ (\frac{-3a}{1+a^2}, \frac{-3a^2}{1+a^2}+1)}\). gdy a się zmienia, punkt o tych współrzędnych zakreśla szukaną krzywą. na dobrą sprawę, można na tym skończyć, bo mamy równanie parametryczne tej krzywej i każdy dobry program do kreślenia wykresów krzywych ją narysuje, ale zazwyczaj idzie się krok dalej: pierwsza współrzędna to x, druga y - szukamy zależności typu y=y(x), albo czegoś podobnego. mamy więc \(\displaystyle{ x=\frac{-3a}{1+a^2}}\) i \(\displaystyle{ y=\frac{-3a^2}{1+a^2}+1=ax+1}\). chodzi o to, by z tej zależności wyeliminować a przy pomocy wzoru na x. wzór ten po przekształceniu daje równanie kwadratowe na a, z którego mamy (sprawdź, często się mylę!): \(\displaystyle{ a=\frac{-3\pm\sqrt{9-4x^2}}{2x}}\). po podstawieniu do wzoru na y: \(\displaystyle{ y=-3/2\pm\sqrt{9-4x^2}/2+1}\) czyli \(\displaystyle{ y+1/2=\pm\sqrt{9-4x^}/2}\), a po podniesieniu do kwadratu \(\displaystyle{ (y+1/2)^2=9/4-x^2,\ (y+1/2)^2+x^2=9/4}\). okrąg? (tzn. jego kawałek)