kąt rozwarcia

lolek900 · Post autor: **lolek900** » 24 mar 2009, o 14:16

Hej:) mam takie zadanko, i nie wiem do konca jak je zrobic...
Pole przekroju osiowego stożka jest \(\displaystyle{ \pi \sqrt{3}}\) razy mniejsze od pola powierzchni całkowitej stożka. Wyznacz miarę kąta rozwarcia stożka.

obliczylem, ze r+ l = \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)H i dalej nie wiem, co zrobic z tym katem, no bo...gdyby to chodzilo o \(\displaystyle{ sin\frac{1}{2}\alpha}\) no to ok, jakos sobie policze, ale cały kąt rozwarcia?
nie wiem:/

kolanko · Post autor: **kolanko** » 24 mar 2009, o 14:24

\(\displaystyle{ sin \alpha \cdot l^2 \cdot \pi \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r \cdot l}\)
to po lewej to pole przekroju razy ta wielkosc o jaka sie różni w pornownaniu do calego pola.

teraz masz tez i
\(\displaystyle{ sin(\frac{\alpha}{2})=\frac{r}{l}}\)

i obliczasz.

lolek900 · Post autor: **lolek900** » 24 mar 2009, o 14:37

no własnie nie rozumiem tego: \(\displaystyle{ sin\frac{\alpha}{2} = \frac{r}{l}}\) tzn. rozumiem skąd sięto wzięło, ale nie wiem, gdzie to niby "wsadzić" i w ogole jak to coś sie liczy:/

a tam nie powinno byc \(\displaystyle{ l^{2}}\)?? tam w tym pierwszym równaniu?

kolanko · Post autor: **kolanko** » 24 mar 2009, o 15:00

powinno byc , zle przepisalem z kartki, poprawilem juz.

lolek900 · Post autor: **lolek900** » 24 mar 2009, o 16:25

ok, ale co z tym \(\displaystyle{ sin\frac{\alpha}{2}}\) ??

kolanko · Post autor: **kolanko** » 24 mar 2009, o 16:36

wyznacz sobie z pierwszego \(\displaystyle{ sin(\alpha)}\) i tam gdzie bedziesz mial \(\displaystyle{ \frac{r}{l}}\) zamien na \(\displaystyle{ sin(\frac{\alpha}{2})}\) i rozwiąz równanie...

lolek900 · Post autor: **lolek900** » 24 mar 2009, o 16:48

wyszlo mi cos takiego...\(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{2\cdot r^{2}}{\sqrt{3}\cdot l^{2}} + \frac{2r}{\sqrt{3}\cdot l}}\) i dalej znowu nie wiem... nie umiem liczyc sinusa połowy kąta, nigdy czegos takiego nie liczylem; jak to ma wyglądać dalej? cos dziwengo mi wyszło :/ prosze o pomoc

kolanko · Post autor: **kolanko** » 24 mar 2009, o 17:05

no to zrob inaczej ze zamiast \(\displaystyle{ sin\alpha}\) daj sobie \(\displaystyle{ sin(2\alpha)}\)
tam samo zamiast polowy konca caly kąt , i w ten sposob 2alfa to masz caly kąt rozwarcia stozka, a alfa to masz tego trójkąta (tworząca, promien, wysokosc)

oznaczmy dla wygody
\(\displaystyle{ sin\alpha = sinx}\)
\(\displaystyle{ sinx=\frac{r}{l}}\)
zatem
\(\displaystyle{ sin2x=\frac{2\cdot r^{2}}{\sqrt{3}\cdot l^{2}} + \frac{2r}{\sqrt{3}\cdot l}}\)

\(\displaystyle{ sin2x=\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot sin^2x + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot sinx}\)

lolek900 · Post autor: **lolek900** » 24 mar 2009, o 17:13

aha, ok i co teraz mam z tym zrobic? nadal dziwnei to wygląda...

kolanko · Post autor: **kolanko** » 24 mar 2009, o 17:18

liczysz jak normalną funkcje sinx. tak jak bys liczyl jakies rownanie kwadratowe czy cos ;p

myśle wlasnie nad innym sposobem tego zadania ale nic mi nie przychodzi do głowy ... :/

lolek900 · Post autor: **lolek900** » 24 mar 2009, o 17:26

wyszlo mi, ze \(\displaystyle{ sinx = -1}\) hmm... i to jest odpowiedz do zadania? czy rozpisac sin2x = 2*sinx*cosx i wyliczyc sin2x ?? jzu sie pogubilem:/