całka nieoznaczona metodą podstawiania

[karoltomek]

dopiero zaczynam swoja przygode z calkami i po zrobieniu kilku zadan zacialem sie na czyms takim
trzeba obliczyc ja przez podstawienie:

\(\displaystyle{ \int \frac{xarcsinx}{ \sqrt{1-x ^{2} } }}\)

probowalem roznych podstawien, ale nie moge uzyskac poprawnego wyniku

[robson161]

no bo najpierw trzeba scałkować przez części i pozbyć się x w liczniku ...
a później na pewno dasz radę skoro próbowałeś tylu podstawień ...

[karoltomek]

czyli mam rozumiec, ze nie mozna wyliczyc tej calki uzywajac tylko podstawienia?

[robson161]

raczej myślę że się nie da, choć jak masz tak w poleceniu to próbuj, na pewno części ułatwiają sprawę

[Mariusz M]

Tak czy inaczej trzeba przez części i przez podstawienie
kolejność nie ma znaczenia

Zastosujmy najpierw podstawienie
\(\displaystyle{ t=\arcsin{x}}\)

\(\displaystyle{ dt= \frac{dx}{ \sqrt{1-x^2} }}\)

\(\displaystyle{ dx={ \sqrt{1-x^2} }dt}\)

\(\displaystyle{ \int{ \frac{x*t* \sqrt{1-x^2} }{ \sqrt{1-x^2} } }dt=}\)

\(\displaystyle{ \int{ x*t }dt=}\)

\(\displaystyle{ \int{ t\sin{t} }dt=}\)

I teraz przez częśći

\(\displaystyle{ \int{t\sin{t}dt}=-t\cos{t}+ \int{\cos{t}} =}\)

\(\displaystyle{ \int{t\sin{t}dt}=-t\cos{t}+\sin{t} =}\)

\(\displaystyle{ -\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}+x +C}\)

[karoltomek]

dzieki wszystkim za pomoc

[Mariusz M]

dzieki wszystkim za pomoc

Po zastanowieniu stwierdziłem że całkowanie przez części wystarczy i nie potrzeba stosować podstawienia

\(\displaystyle{ \int{ \frac{x\arcsin{x}}{ \sqrt{1-x^2} } dx}=- \int{ \frac{-x}{ \sqrt{1-x^2} \arcsin{x}} dx}=}\)

\(\displaystyle{ - \left( \arcsin{x}\sqrt{1-x^2} - \int{ \frac{dx}{ \sqrt{1-x^2} } \sqrt{1-x^2} } \right)}\)

\(\displaystyle{ - \left( \arcsin{x}\sqrt{1-x^2} - \int{ dx } \right)}\)

\(\displaystyle{ - \left( \arcsin{x}\sqrt{1-x^2} - x \right)}\)

\(\displaystyle{ -\arcsin{x}\sqrt{1-x^2} + x +C}\)