Całka neioznaczona z arcusami

[pascal]

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^{2}+2x+3}}\)

A tutaj mam problem z całką w postaci fun. wymiernej...
\(\displaystyle{ \int \frac{6x^{3}+4x+1}{x^{4}+x^{2}}}\)

[M Ciesielski]

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^2+2x+3} = \int \frac{dx}{(x+1)^2 + 2} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 1} = ...}\)

teraz podstawienie

druga to rozkład na ułamki proste.

[gufox]

\(\displaystyle{ \int \frac{6x^{3}+4x+1}{x^{4}+x^{2}}}\)

\(\displaystyle{ ...= \frac{A}{x}+ \frac{B}{x ^{2} }+ \frac{Cx+D}{x ^{2}+1 }}\)

\(\displaystyle{ 6x ^{2}+4x+1=(A+C)x ^{3}+(B+D)x ^{2}+Ax+B}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} A=4 \\B=1 \\ C=2 \\D=-1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{4}{x}dx+\int \frac{dx}{x ^{2} }+ \int \frac{2x-1}{x ^{2}+1 }dx=4ln|x|- \frac{1}{x}+ \int \frac{(x^2+1)'-1}{x ^{2}+1 }= 4ln|x|- \frac{1}{x}+ ln|x^2+1|- \int \frac{dx}{x ^{2}+1 }= 4ln|x|- \frac{1}{x}+ ln|x^2+1|-arctgx+C}\)

[pascal]

gufox, ale jak Ty rozbiłeś ten ułamek? A dokładniej mianownik.

[M Ciesielski]

normalnie, na czynniki.