Witam! Czy ktoś może mi pomóc z następującym zadaniem? Nie wiem jak sie za nie zabrać.
Zadanie. Dany jest ciąg \(\displaystyle{ (a _{n})}\) określony wzorem ogólnym \(\displaystyle{ (a _{n})=5n-10}\) oraz ciąg \(\displaystyle{ (b _{n})}\) zadany wzorem rekurencyjnym \(\displaystyle{ b _{1}=2, b _{n+1}=5 _{b _{n}}}\).
a) Uzasadnij, że ciąg \(\displaystyle{ (a _{n})}\) jest arytmetyczny, a ciąg \(\displaystyle{ (b _{n})}\) - geometryczny
b) Podaj wzór rekurencyjny ciągu \(\displaystyle{ (a _{n})}\) oraz wzór ogólny ciągu \(\displaystyle{ (b _{n})}\)
c) Zbadaj monotoniczność ciągu \(\displaystyle{ (c _{n})}\), gdzie \(\displaystyle{ c _{n}=a _{n}+b _{n}}\).
Z góry dziękuję za każdą udzieloną pomoc.
Ciągi + wzory rekurencyjne - zadanie
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Ciągi + wzory rekurencyjne - zadanie
a.)
Dla dowolnego n naturalnego zachodzi \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}=5n-5-5n+10=5}\), czyli różnica ciągu jest stała (i równa 5).
Dla dowolnego n naturalnego zachodzi \(\displaystyle{ \frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{5b_{n}}{b_{n}}=5}\), czyli iloraz ciągu jest stały (i równy 5)
b.)
Z zależności \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}=5}\) wynika, że \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+5}\), zatem ciąg ten jest dany rekurencyjnie jako \(\displaystyle{ a_{1}=-5,a_{n+1}=a_{n}+5}\)
Skoro \(\displaystyle{ (b_{n})_{n\in N}}\) jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie \(\displaystyle{ b_{1}=2}\) i ilorazie \(\displaystyle{ q=5}\), to \(\displaystyle{ b_{n}=2 \cdot 5^{n-1}}\)
c.)
\(\displaystyle{ c_{n}=a_{n}+b_{n}=2 \cdot 5^{n-1}+5n-10}\)
\(\displaystyle{ c_{n+1}=2 \cdot 5^{n}+5n-5}\)
\(\displaystyle{ c_{n+1}-c_{n}=2 \cdpt (5^{n}-5^{n-1})+5=8 \cdot 5^{n-1}+5>0}\) dla dowolnego naturalnego n, zatem ciąg jest rosnący.
Dla dowolnego n naturalnego zachodzi \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}=5n-5-5n+10=5}\), czyli różnica ciągu jest stała (i równa 5).
Dla dowolnego n naturalnego zachodzi \(\displaystyle{ \frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{5b_{n}}{b_{n}}=5}\), czyli iloraz ciągu jest stały (i równy 5)
b.)
Z zależności \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}=5}\) wynika, że \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+5}\), zatem ciąg ten jest dany rekurencyjnie jako \(\displaystyle{ a_{1}=-5,a_{n+1}=a_{n}+5}\)
Skoro \(\displaystyle{ (b_{n})_{n\in N}}\) jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie \(\displaystyle{ b_{1}=2}\) i ilorazie \(\displaystyle{ q=5}\), to \(\displaystyle{ b_{n}=2 \cdot 5^{n-1}}\)
c.)
\(\displaystyle{ c_{n}=a_{n}+b_{n}=2 \cdot 5^{n-1}+5n-10}\)
\(\displaystyle{ c_{n+1}=2 \cdot 5^{n}+5n-5}\)
\(\displaystyle{ c_{n+1}-c_{n}=2 \cdpt (5^{n}-5^{n-1})+5=8 \cdot 5^{n-1}+5>0}\) dla dowolnego naturalnego n, zatem ciąg jest rosnący.