równanie różniczkowe I rzędu
równanie różniczkowe I rzędu
\(\displaystyle{ y'+ \frac{xy}{ a^{2}+ x^{2}}= \frac{ \sqrt{a^{2}+ x^{2}} }{ x^{2} } }}\)
Ostatnio zmieniony 23 mar 2009, o 18:16 przez luka52, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Jeden wyraz na nazwę tematu to zdecydowanie za mało. Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by lepiej wskazywały o czym może być treść zadania.
Powód: Jeden wyraz na nazwę tematu to zdecydowanie za mało. Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by lepiej wskazywały o czym może być treść zadania.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4432
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
równanie różniczkowe I rzędu
Określmy \(\displaystyle{ a(x)=-\frac{x}{a^2+x^2}}\) oraz \(\displaystyle{ b(x)=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x^2}}\). Mamy \(\displaystyle{ A(x)=\int a(x)dx=-\frac{1}{2}\ln(a^2+x^2)=-\ln\sqrt{a^2+x^2}}\) oraz \(\displaystyle{ B(x)=\int b(x)e^{-A(x)}dx=\int\frac{a^2+x^2}{x^2}dx=x-\frac{a^2}{x}}\) (a i b są ustalonymi funkcjami pierwotnymi).
Zatem ogólne rozwiązanie równania jest postaci \(\displaystyle{ \varphi_C(x)=(B(x)+C)e^{A(x)}=(x-\frac{a^2}{x}+C)\cdot\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R}}\) jest dowolną stałą.
Zatem ogólne rozwiązanie równania jest postaci \(\displaystyle{ \varphi_C(x)=(B(x)+C)e^{A(x)}=(x-\frac{a^2}{x}+C)\cdot\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R}}\) jest dowolną stałą.