mam problem z 2przykładami
1) wykaż, że funkcja jest monotoniczna w zbiorze R:
y = x-\(\displaystyle{ 2\sqrt{5}}\)
2)wykaż, że funkcja jest rosnąca w zbiorze R_
y= \(\displaystyle{ \frac{-5}{x}}\)
Prosiłbym o rozpisanie przykładów krok po kroku.
Monotonicznośc funkcji
-
SK8
- Użytkownik
- Posty: 213
- Rejestracja: 29 sie 2007, o 10:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 36 razy
Monotonicznośc funkcji
2.)
Założenie : \(\displaystyle{ x_{1}<x_{2}}\) i \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}\in (-\infty ,0)=A}\)
Teza : \(\displaystyle{ f(x)=\frac{-5}{x}}\) jest rosnąca w \(\displaystyle{ A}\)
Dowód:
Rozważasz różnicę:
\(\displaystyle{ f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{-5}{x_{1}}-\frac{-5}{x_{2}}=\frac{-5x_{2}}{x_{1}x_{2}}-\frac{-5x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{-5x_{2}+5x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{-5(x_{2}-x_{1})}{x_{1}x_{2}}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}>0}\) bo obie te liczby są ujemne (z założenia)
\(\displaystyle{ x_{2}-x_{1}>0}\) bo \(\displaystyle{ x_{1}<x_{2}}\) (tez z założenia)
Z tego wynika ze:
\(\displaystyle{ f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{-5(x_{2}-x_{1})}{x_{1}x_{2}}<0}\)
\(\displaystyle{ f(x_{1})<f(x_{2})\wedge x_{1}<x_{2}}\) czyli mniejszym argumentom funkcja przyporządkowuje mniejsze wartości.
A tak jest wtedy i tylko wtedy gry funkcja jest rosnąca w danym przedziale. cnu
a to pierwsze robisz analogicznie
Założenie : \(\displaystyle{ x_{1}<x_{2}}\) i \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}\in (-\infty ,0)=A}\)
Teza : \(\displaystyle{ f(x)=\frac{-5}{x}}\) jest rosnąca w \(\displaystyle{ A}\)
Dowód:
Rozważasz różnicę:
\(\displaystyle{ f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{-5}{x_{1}}-\frac{-5}{x_{2}}=\frac{-5x_{2}}{x_{1}x_{2}}-\frac{-5x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{-5x_{2}+5x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{-5(x_{2}-x_{1})}{x_{1}x_{2}}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}>0}\) bo obie te liczby są ujemne (z założenia)
\(\displaystyle{ x_{2}-x_{1}>0}\) bo \(\displaystyle{ x_{1}<x_{2}}\) (tez z założenia)
Z tego wynika ze:
\(\displaystyle{ f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{-5(x_{2}-x_{1})}{x_{1}x_{2}}<0}\)
\(\displaystyle{ f(x_{1})<f(x_{2})\wedge x_{1}<x_{2}}\) czyli mniejszym argumentom funkcja przyporządkowuje mniejsze wartości.
A tak jest wtedy i tylko wtedy gry funkcja jest rosnąca w danym przedziale. cnu
a to pierwsze robisz analogicznie
Monotonicznośc funkcji
czyli wychodzi na to, że w przykładzie 1)
funkcja jest rosnąca w zbiorze R+
założenie:
x1<x2 tzn. x1-x2<0
Teza:
f(x1)<f(x2) tzn. f(x1)-f(x2)<0
dowód:
\(\displaystyle{ f(x1)-f(x2) = x1 - 2\sqrt{5} -(x2 -2\sqrt{5}) = x1 -2\sqrt{5} -x2 + 2\sqrt{5} = x1-x2<0}\)
f(x1)<f(x2) ^ x1<x2
nie wiem czy nie pomieszałem?
funkcja jest rosnąca w zbiorze R+
założenie:
x1<x2 tzn. x1-x2<0
Teza:
f(x1)<f(x2) tzn. f(x1)-f(x2)<0
dowód:
\(\displaystyle{ f(x1)-f(x2) = x1 - 2\sqrt{5} -(x2 -2\sqrt{5}) = x1 -2\sqrt{5} -x2 + 2\sqrt{5} = x1-x2<0}\)
f(x1)<f(x2) ^ x1<x2
nie wiem czy nie pomieszałem?