nierównośc do wykazania

[martka09]

Dowieść, że jeżeli \(\displaystyle{ x>0}\) i \(\displaystyle{ y>0}\) i \(\displaystyle{ x+y=1}\), to \(\displaystyle{ (1+ \frac{1}{x} )(1+ \frac{1}{y} )\ge9}\)

[bosa_Nike]

\(\displaystyle{ \left(1+\frac{x+y}{x}\right)\cdot\left(1+\frac{x+y}{y}\right)=\left(2+\frac{y}{x}\right)\cdot\left(2+\frac{x}{y}\right)=4+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+1\ge 9}\)

Bo gdy \(\displaystyle{ a>0}\) jest \(\displaystyle{ \left(a+\frac{1}{a}\right)\ge 2}\)

[segal]

\(\displaystyle{ x>0}\)
\(\displaystyle{ y>0}\)
\(\displaystyle{ x+y=1}\)
z tego wynika że:
\(\displaystyle{ y=1-x}\)
podstawiasz do równania
\(\displaystyle{ (1+ \frac{1}{x})(1+\frac{1}{1-x}) \ge 9}\)
po doprowadzeniu do wspólnego mianownika:
\(\displaystyle{ \frac{x-x^{2}+2}{x-x^{2}} \ge 9}\)
mianownik jest dodatni, bo x>0, y>0, zatem:
\(\displaystyle{ -x^{2}+x+2 \ge 9x-9x^{2}}\)
\(\displaystyle{ 4x^{2}-4x+1 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ (x- \frac{1}{2} )^{2} \ge 0}\)
równanie jest nieoznaczone
cnw.