1. Udowodnij, że każda przemienna grupa sześcioelementowa zawierająca element rzędu 3 jest cykliczna.
2. Pokaż, że w każdej grupie rzędu 2n, dla n nieparzystego, istnieje dokładnie jeden element różny
od elementu neutralnego, którego rząd wynosi 2.
Dzięki...
Edit: grupa jest przemienna.
Zadanie z grup
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3242
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Zadanie z grup
1. Grupa rzędu 6 musi zawierać element rzędu 2. Można pokazać to na różne sposoby:
(i) Ogólnie dla wszystkich grup rzędów parzystych,
(ii) Na palcach dla naszego przypadku:
Z tw Lagrange'a możliwe rzędy elementów różnych od neutralnego w naszej grupie to 2 i 3.
Gdybyśmy mieli same elementy rzędu 3 i element neutralny to mamy w naszej grupie parami różne elementy:
\(\displaystyle{ 1, x, x^{2} = x^{-1}}\) gdzie \(\displaystyle{ x}\) to element rzędu 3. Jak widać tylko 3 elementy, a grupa ma rząd 6, więc znajdziemy jeszcze jakiś inny element \(\displaystyle{ y,}\) z założenia ma on rząd 3.
Dostajemy wtedy z abelowości takie parami różne elementy:
\(\displaystyle{ 1, x, x^{2}, y, y^{2} = y^{-1}, xy, x^{2}y, x^{2}y^{2}, xy^{2}}\)
Jak widać jest już tych elementów 9, a grupa miała rząd 6 - sprzeczność.
(iii) Leniwi mogą zmałpować dowód twierdzenia Cauchy'ego dla grup abelowych, tzn rozpatrywać iloraz przez podgrupę cykliczną generowaną przez element różny od neutralnego.
(iv) A bardzo leniwi mogliby skorzystać z tw Cauchy'ego albo tw Sylowa, ale w tak prostym zadaniu, to może być kiepsko oceniane.
Jak już mamy element \(\displaystyle{ a}\) rzędu 2, to bierzemy istniejący z założenia element \(\displaystyle{ b}\) rzędu 3 (swoją drogą w każdej grupie rzędu 6 musi taki element istnieć, co można pokazać tak jak wyżej), i korzystając z abelowości pokazujemy, że \(\displaystyle{ ab}\) ma rząd \(\displaystyle{ 6,}\) czyli generuje całą grupę, a więc jest ona cykliczna.
2. Istnienie co najmniej jednego takiego elementu pokazujemy jak tutaj.
Jedyność nie jest na ogół prawdziwa, np weźmy sobie taką grupę \(\displaystyle{ S_{3}.}\)
Ma ona rząd \(\displaystyle{ 6 = 2\cdot 3}\) i mamy w niej różne od siebie i od elementu neutralnego elementy rzędu 2, np \(\displaystyle{ (1, 2), \ (1,3)}\)
Jeśli powinno tam być założenie o przemienności grupy, to mamy jedyność - bierzemy dowolny istniejący element rzędu 2, dzielimy całą grupę przez podgrupę generowaną przez ten element i korzystamy z tw Lagrange'a oraz z tego, że rozpatrywany iloraz ma rząd nieparzysty.
(i) Ogólnie dla wszystkich grup rzędów parzystych,
(ii) Na palcach dla naszego przypadku:
Z tw Lagrange'a możliwe rzędy elementów różnych od neutralnego w naszej grupie to 2 i 3.
Gdybyśmy mieli same elementy rzędu 3 i element neutralny to mamy w naszej grupie parami różne elementy:
\(\displaystyle{ 1, x, x^{2} = x^{-1}}\) gdzie \(\displaystyle{ x}\) to element rzędu 3. Jak widać tylko 3 elementy, a grupa ma rząd 6, więc znajdziemy jeszcze jakiś inny element \(\displaystyle{ y,}\) z założenia ma on rząd 3.
Dostajemy wtedy z abelowości takie parami różne elementy:
\(\displaystyle{ 1, x, x^{2}, y, y^{2} = y^{-1}, xy, x^{2}y, x^{2}y^{2}, xy^{2}}\)
Jak widać jest już tych elementów 9, a grupa miała rząd 6 - sprzeczność.
(iii) Leniwi mogą zmałpować dowód twierdzenia Cauchy'ego dla grup abelowych, tzn rozpatrywać iloraz przez podgrupę cykliczną generowaną przez element różny od neutralnego.
(iv) A bardzo leniwi mogliby skorzystać z tw Cauchy'ego albo tw Sylowa, ale w tak prostym zadaniu, to może być kiepsko oceniane.
Jak już mamy element \(\displaystyle{ a}\) rzędu 2, to bierzemy istniejący z założenia element \(\displaystyle{ b}\) rzędu 3 (swoją drogą w każdej grupie rzędu 6 musi taki element istnieć, co można pokazać tak jak wyżej), i korzystając z abelowości pokazujemy, że \(\displaystyle{ ab}\) ma rząd \(\displaystyle{ 6,}\) czyli generuje całą grupę, a więc jest ona cykliczna.
2. Istnienie co najmniej jednego takiego elementu pokazujemy jak tutaj.
Jedyność nie jest na ogół prawdziwa, np weźmy sobie taką grupę \(\displaystyle{ S_{3}.}\)
Ma ona rząd \(\displaystyle{ 6 = 2\cdot 3}\) i mamy w niej różne od siebie i od elementu neutralnego elementy rzędu 2, np \(\displaystyle{ (1, 2), \ (1,3)}\)
Jeśli powinno tam być założenie o przemienności grupy, to mamy jedyność - bierzemy dowolny istniejący element rzędu 2, dzielimy całą grupę przez podgrupę generowaną przez ten element i korzystamy z tw Lagrange'a oraz z tego, że rozpatrywany iloraz ma rząd nieparzysty.