Równanie logarytmiczne

[exculibrus]

Jak należy rozwiązywać takie o to równania: (?)

\(\displaystyle{ 2log_{3}(x-2)+log_{3}(x-4)^{2}=0}\)
i

\(\displaystyle{ log_{2}(x+1)^{2}+log_{2}\left|x+1\right|=6}\)

Mi wchodzą wyniki: w pierwszym \(\displaystyle{ x=3}\)(lub po wzięciu pod uwagę potęgi jako argumentu)\(\displaystyle{ x\in\{3, 3+\sqrt{2}, 3-\sqrt{2}\}}\) a w drugim \(\displaystyle{ x=3}\). Ale nie do końca są prawidłowe. Może mi ktoś wytłumaczyć, dlaczego jeśli w argumencie f.logarytmicznej mam wartość podniesiona do kwadratu, zamiast traktować to jako argument do kwadratu i wyciągnąć przed funkcję, traktuję jak argument i okazuje się, że to co jest podnoszone do kwadratu może być ujemne (co jest sprzeczne z definicją f.logarytmicznej). Z góry dziękuję.

[Mariusz M]

Dlaczego masz wartość podniesioną do kwadratu ?

\(\displaystyle{ 2\log_3 \left( x-2\right)=\log_3 \left(\left( x-2\right)^2 \right)=0}\)


Przenieść na drugą stronę podzielić i skorzystać ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu

Można także wymnożyć i przyrównać do jedynki

\(\displaystyle{ \left( x-2\right)^2 \left( x-4\right)^2=1}\)

Wynikem powinny być cztery liczby chyba że któraś jest wielokrotna

Liczba logarytmowana może być ujemna pod warunkiem że przeciwdziedziną jest zbiór liczb zespolonych

W tym pdf jest napisane jak rozwiązywać równania czwartego stopnia

Kod: Zaznacz cały

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf

Dla liczb zespolonych liczba logarytmowana powinna być różna od zera
a podstawa różna od zera i od jedynki

W drugim równaniu otrzymujemy

\(\displaystyle{ \left( x+1\right)^2 \left| x+1\right|=64}\)

Dla \(\displaystyle{ x<-1}\) mamy

\(\displaystyle{ \left( x+1\right)^2 \left( x+1\right)=-64}\)

Dla \(\displaystyle{ x \ge -1}\) mamy

\(\displaystyle{ \left( x+1\right)^2 \left( x+1\right)=64}\)