Jak się bada ciągłość funkcji w punkcie w takich przypadkach i czy te funkcje będą ciągłe w pukcie (0,0):
\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, (x,y) \neq (0,0) \\ 0, (x,y) = (0,0) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy^2}{x^2+y^2}, (x,y) \neq (0,0) \\ 0, (x,y) = (0,0) \end{cases}}\)
Ciągłość funkcji dwóch zmiennych w punkcie
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2285
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Ciągłość funkcji dwóch zmiennych w punkcie
Dokonaj podstawienia typu
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=\rho\sin{t}\\y=\rho\cos{t}\end{cases}}\)
Wówczas rozważając granice
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)}\)
możemy zapisać naszą granicą
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=\lim_{\rho\to 0} f(\rho)}\) oraz \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=\rho\sin{t}\\y=\rho\cos{t}\end{cases}}\)
Wówczas rozważając granice
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)}\)
możemy zapisać naszą granicą
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=\lim_{\rho\to 0} f(\rho)}\) oraz \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\)
-
lodzkistyl
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 1 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Ciągłość funkcji dwóch zmiennych w punkcie
dla tego 1 przykładu robie tak
\(\displaystyle{ \lim_{p \to0 } \frac{p\sin t +p\cos t}{ (p\sin t)^{2}+ (p\cos t)^{2} } = \frac{p(\sin t+\cos t)}{ p^{2} \sin t^{2}+ p^{2} \cos t^{2} } = \frac{(\sin t + \cos t)}{p( \sin t^{2}+ \cos t^{2} ) }= \frac{(\sin t + \cos t)}{p} }\)
i co teraz? co na tej podstawie moge stwierdzic?
-- 5 cze 2011, o 20:57 --
up
\(\displaystyle{ \lim_{p \to0 } \frac{p\sin t +p\cos t}{ (p\sin t)^{2}+ (p\cos t)^{2} } = \frac{p(\sin t+\cos t)}{ p^{2} \sin t^{2}+ p^{2} \cos t^{2} } = \frac{(\sin t + \cos t)}{p( \sin t^{2}+ \cos t^{2} ) }= \frac{(\sin t + \cos t)}{p} }\)
i co teraz? co na tej podstawie moge stwierdzic?
-- 5 cze 2011, o 20:57 --
up