całka oznaczona (z wykorzystaniem wzorów Eulera)

[fkszczepanik]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi}{2} }}\)\(\displaystyle{ \sin x}\)\(\displaystyle{ \sqrt{1+\cos^2x} \mbox{d}x}\)

taka całka.

[Mariusz M]

Podstawienie

\(\displaystyle{ t=\cos{x}+ \sqrt{1+\cos^{2}{x}}}\)

\(\displaystyle{ t-\cos{x}= \sqrt{1+\cos^{2}{x}}}\)

\(\displaystyle{ t^2-2t\cos+\cos^{2}{x}= 1+cos^{2}{x}}\)

\(\displaystyle{ t^2-2t\cos{x}= 1}\)

\(\displaystyle{ 2t\cos{x}=t^2-1}\)

\(\displaystyle{ \cos{x}= \frac{t^2-1}{2t}}\)

\(\displaystyle{ -\sin{x}dx= \frac{4t^2-2t^2+2}{4t^2}}\)

\(\displaystyle{ -\sin{x}dx= \frac{t^2+1}{2t^2}}\)

\(\displaystyle{ dx= -\frac{t^2+1}{\left(2t^2\right)sin{x}}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{1+\cos^{2}{x}}=t-cos{x}=t- \frac{t^2+1}{2t}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{1+\cos^{2}{x}}= \frac{2t^2-t^2+1}{2t}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{1+\cos^{2}{x}}= \frac{t^2+1}{2t}}\)

\(\displaystyle{ -\int{ \frac{\sin{x} \left( t^2+1\right)^2 }{2t*2t^2\sin{x}} }}\)

\(\displaystyle{ -\int{ \frac{ \left( t^2+1\right)^2 }{2t*2t^2} }}\)

\(\displaystyle{ - \frac{1}{4} \int{ \frac{ \left( t^4+2t^2+1\right) }{t^3} }}\)

\(\displaystyle{ - \frac{1}{4} \int{ \left( t+\frac{2}{t}+ \frac{1}{t^3} \right) }}\)

\(\displaystyle{ - \frac{1}{4} \left( \frac{t^2}{2}+2\ln{t}- \frac{1}{2t^2} \right)}\)

[meninio]

Z faktu braku osobliwości wewnątrz obszaru całkowania, liczę najpierw całkę nieoznaczoną:

\(\displaystyle{ \int \sin x \sqrt{1+\cos^2x} \mbox{d}x=\left[\begin{array}{cc}\cos x =\sinh t\\-\sin x \mbox{d}x =\cosh t \mbox{d}t \end{array}\right]=-\int \cosh^2 t \mbox{d}t =-\int \frac{1+\cosh 2t}{2} \mbox{d}t=\\ \\ =-\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\sinh 2t=-\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}\sinh t\cosh t=-\frac{1}{2} \left(t+\sinh t\sqrt{1+\sinh^2t} \right) = \\ \\ = -\frac{1}{2} \left(arsinh \left(\cos x \right) +\cos x\sqrt{1+\cos^2 x} \right) = -\frac{1}{2} \left[ \ln \left(\cos x+\sqrt{1+\cos^2x} \right) +\cos x\sqrt{1+\cos^2 x} \right]}\)

[Mariusz M]

Z faktu braku osobliwości wewnątrz obszaru całkowania, liczę najpierw całkę nieoznaczoną:

\(\displaystyle{ \int \sin x \sqrt{1+\cos^2x} \mbox{d}x=\left[\begin{array}{cc}\cos x =\sinh t\\-\sin x \mbox{d}x =\cosh t \mbox{d}t \end{array}\right]=-\int \cosh^2 t \mbox{d}t =-\int \frac{1+\cosh 2t}{2} \mbox{d}t=\\ \\ =-\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\sinh 2t=-\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}\sinh t\cosh t=-\frac{1}{2} \left(t+\sinh t\sqrt{1+\sinh^2t} \right) = \\ \\ = -\frac{1}{2} \left(arsinh \left(\cos x \right) +\cos x\sqrt{1+\cos^2 x} \right) = -\frac{1}{2} \left[ \ln \left(\cos x+\sqrt{1+\cos^2x} \right) +\cos x\sqrt{1+\cos^2 x} \right]}\)

Menino twoje rozumowanie jest poprawne aczkolwiek w temacie jest wyraźnie napisanie

z wykorzystaniem podstawienia Eulera

[fkszczepanik]

a po co ta literka h przy sin i cos?

i tam jak już podstawiasz, to ja nie widzę skąd jest \(\displaystyle{ cos h^2x}\)

[meninio]

Ok przepraszam pospieszyłem się z tym rozwiązaniem. A tam u mnie to są funkcje hiperboliczne.

[Mariusz M]

a po co ta literka h przy sin i cos?

i tam jak już podstawiasz, to ja nie widzę skąd jest \(\displaystyle{ cos h^2x}\)

Ponieważ są to funkcje hiperboliczne

\(\displaystyle{ \sinh'(x)=\cosh(x)}\)
\(\displaystyle{ \cosh'(x)=\sinh(x)}\)

\(\displaystyle{ arsinh'(x)= \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} }}\)
\(\displaystyle{ arcosh'(x)=\pm \frac{1}{ \sqrt{x^2-1} }}\)

[fkszczepanik]

aaaaaaha;) dzięki

[Mariusz M]

fkszczepanik polecam Tobie lekturę
1. Rachunek różniczkowy i całkowy Grigorij M. Fichtenholz
tomy 1..3
2. Rachunek różniczkowy i całkowy Stefan Banach

Po pozycję pierwszą trzeba udać się do lokalnej biblioteki
Pozycję drugą można znaleźć w sieci