Jak udowodnic tozsamosc:
\(\displaystyle{ \frac{sin2x}{1+cos2x}{*}\frac{cosx}{1+cosx}{=}{tg}\frac{x}{2}}\)
udowodnic tozsamosc
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2333
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
udowodnic tozsamosc
Korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ sin 2x=2 sin x cos x}\) oraz \(\displaystyle{ ctg {\frac{x}{2}}=\frac{1+cos x}{sin x}}\) i \(\displaystyle{ cos 2x=2 cos^2 x-1}\). No to jedziemy:)
\(\displaystyle{ L=\frac{sin 2x}{1+ cos 2x} \frac{cos x}{1+ cos x}=\frac{2sin x cos x}{1+ 2cos^2 x -1} \frac{cos x}{1+cos x}=\frac{2 cos^2 x sin x}{2 cos^2 x(1+ cos x)}=\frac{ sin x}{1+ cos x}=\frac{1}{ ctg \frac{x}{2} }=tg \frac{x}{2}=P}\)
\(\displaystyle{ L=\frac{sin 2x}{1+ cos 2x} \frac{cos x}{1+ cos x}=\frac{2sin x cos x}{1+ 2cos^2 x -1} \frac{cos x}{1+cos x}=\frac{2 cos^2 x sin x}{2 cos^2 x(1+ cos x)}=\frac{ sin x}{1+ cos x}=\frac{1}{ ctg \frac{x}{2} }=tg \frac{x}{2}=P}\)