całki nieoznaczone

[Ignus64]

Mama taką fajną kartkę z zadaniami głównie typu " Oblicz całkę...", znajduje się na niej parę zadań w które wpatruje się od już jakiegoś czasu i w żaden sposób nie mogę sobie z nimi poradzić. :/
Będę wdzięczny za wszelkie pomysły na rozwiązanie tych całek

oto one:

1) \(\displaystyle{ \int 2 \sqrt[5]{ x^{3} } \mbox{d}x}\)
2) \(\displaystyle{ \int \frac{ e^{x} }{3 e^{x}-2 } \mbox{d}x}\)
3) \(\displaystyle{ \int \frac{1}{ \sqrt{25- 9x^{2} } } \mbox{d}x}\)
4) \(\displaystyle{ \int \frac{5}{(x+4) ^{2} } \mbox{d}x}\)
5) \(\displaystyle{ \int \frac{1}{(x +2)^{2}(x+4) ^{2} } \mbox{d}x}\)

[tomekture8]

1) \(\displaystyle{ \int 2 \sqrt[5]{x ^{3} } dx = 2\int x ^{ \frac{3}{5} } dx}\)

2) Podstawienie
\(\displaystyle{ e ^{x}=t}\)
\(\displaystyle{ e ^{x}dx=dt}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{e ^{x}dx }{3e ^{x}-2 } = \int \frac{dt}{3(t- \frac{2}{3}) } = \frac{1}{3} \int \frac{dt}{t- \frac{2}{3} }}\)


3) \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{25-9x ^{2} } } = \frac{1}{3} \int \frac{dx}{ \sqrt{ \frac{25}{9} } - x ^{2} }}\)

4) Podstawienie
\(\displaystyle{ x+4=t}\)
\(\displaystyle{ dx=dt}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{5dx}{(x+4) ^{2} } = 5\int \frac{dt}{t ^{2} }}\)

5) ??

[Azz]

5. Rozłożyć wyrażenie pod całkowe na sumę ułamków prostych

\(\displaystyle{ \int\frac{1}{(x +2)^{2}(x+4) ^{2} } \mbox{d}x = \int \frac{A}{x+2} \mbox{d}x +\int \frac{B}{(x+2)^{2}} \mbox{d}x + \int \frac{C}{x+4} \mbox{d}x + \int\frac{D}{(x+4)^{2}} \mbox{d}x}\)

[M Ciesielski]

5. Rozłożyć wyrażenie pod całkowe na sumę ułamków prostych

\(\displaystyle{ \int\frac{1}{(x +2)^{2}(x+4) ^{2} } \mbox{d}x = \int \frac{A}{x+2} \mbox{d}x +\int \frac{B}{(x+2)^{2}} \mbox{d}x + \int \frac{C}{x+4} \mbox{d}x + \int\frac{D}{(x+4)^{2}} \mbox{d}x}\)

jesli juz, to:


\(\displaystyle{ \int\frac{1}{(x +2)^{2}(x+4) ^{2} } \mbox{d}x = \int \frac{A}{x+2} \mbox{d}x +\int \frac{Bx+C}{(x+2)^{2}} \mbox{d}x + \int \frac{D}{x+4} \mbox{d}x + \int\frac{Ex+F}{(x+4)^{2}} \mbox{d}x}\)

[Azz]

W zeszycie z ćwiczeń z Matematyki, mam napisane tak jak w moim poście.

Zadanie rozwiązywał dr z wydziału matematyki (identyczne tylko inne liczby), hm

Wiem, że po spotęgowaniu mamy funkcje kwadratową więc w liczniku wypadałoby mieć liniową zatem naprawdę, hm

Na internecie znalazłem coś takiego



Po rozkładzie:



Kto ma racje?

[meninio]

Jak mamy w mianowniku \(\displaystyle{ (x+a)^k}\) to w rozkładzie na ułamki proste ma być: \(\displaystyle{ \frac{A}{(x+a)^k}}\), jeśli natomiast wpiszesz \(\displaystyle{ \frac{Bx+C}{(x+a)^k}}\) to po prostu wyjdzie, że \(\displaystyle{ B=0}\)