zbieżność szeregu

[oluszek7]

mam do wyznaczenia zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n}* (arcsin \frac{1}{n} )^{ n^{2} }}\)
próbowałam z cauchiego ale zostaje do obliczenia
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } (|arcsin \frac{1}{n}|) ^{n}}\)

[Frey]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } 0 \le (|arcsin \frac{1}{n}|) ^{n} \le (\frac{1}{2})^n \rightarrow 0}\)

Od pewnego n

[piotr3k]

A nie powinno być:

\(\displaystyle{ (|\arcsin\frac{1}{n}|)^n\leq (\frac{3}{2n})^n\rightarrow 0}\)

A wynika to z tego, co kiedyś napisał Wasilewski:

Można tak:

Zauważmy jednak, że:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{arcsinx}{x} = 1}\)
Wobec tego również:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\frac{arcsin \frac{3}{n^2+1}}{\frac{3}{n^2+1}} = 1}\)
Stąd od pewnego n zachodzi:
\(\displaystyle{ | \frac{arcsin\frac{3}{n^2+1}}{\frac{3}{n^2+1}} - 1| \le \frac{1}{2} \\
arcsin \frac{3}{n^2+1} \le \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{n^2+1}}\)

Także wydaje mi się, że chyba tak jest poprawniej.

[Frey]

No ale przecież od pewnego n arcusinus będzie mniejszy od jednej drugiej, no to sobie możemy tak napisać, że od pewnego n zachodzi

[piotr3k]

Mnie by wykładowca przewlekł na lewą stronę jakbym mu tak wytłumaczył

[Frey]

czemu, przecież to prawda