Czy jest to ciąg arytmetyczny?

[woznyadam]

\(\displaystyle{ a) a _{n} = \frac{2n}{n+1}}\)
\(\displaystyle{ b) a _{n} = \frac{3n-1}{2}}\)
\(\displaystyle{ c) a_{n} = n ^{2} +1}\)
\(\displaystyle{ d) a_{n}= \sqrt{3}- \frac{1}{3} n}\)

[Eclipt]

Liczy się \(\displaystyle{ a_{n+1} - a_{n}}\). Jeżeli wyjdzie liczba (bez zmiennej), to ciąg jest arytmetyczny.

Np.1)
\(\displaystyle{ a_{n+1} - a_{n}= \frac{2(n+1)}{(n+1)+1} - \frac{2n}{n+1} = \frac{2n+2}{n+2}- \frac{2n}{n+1}}\)
Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika:
\(\displaystyle{ \frac{(2n+2)(n+1)-2n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{(2 n^{2}+2n+2n+2)-(2n^{2}+4n)}{n^{2}+n+2n+2} = \frac{2}{n^{2}+3n+2}}\)
Wydzodzi na to, że ów ciąg arytmetyczny nie jest.

Mam nadzieję, że załapałeś o co biega i będziesz mógł sam zrobić kolejne . Jeżeli nie, pisz.

[SZEKEL]

2) \(\displaystyle{ a _{n+1} = \frac{3(n+1)-1}{2}= \frac{3n+3-1}{2}= \frac{3n+2}{2}}\)

\(\displaystyle{ a _{n+1}-a _{n} = \frac{3n+2}{2} - \frac{3n-1}{2} = \frac{3n+2-3n-1}{2}= \frac{1}{2}}\)


3) \(\displaystyle{ a _{n+1}=(n+1) ^{2}+1=n ^{2} +2}\)

\(\displaystyle{ a _{n+1}-a _{n}= n ^{2}+2 - n ^{2} +1=3}\)

Czy to jest poprawnie rozwiązane??

[slaweu]

obydwa źle:

w pierwszym zapomniałeś znaku zmienić przy odejmowaniu:

\(\displaystyle{ a _{n+1}-a _{n} = \frac{3n+2}{2} -( \frac{3n-1}{2}) = \frac{3n+2-3n+1}{2}= \frac{3}{2}}\)

a w drugim już całkiem popaprałeś

\(\displaystyle{ a _{n}=n ^{2}+1}\)

\(\displaystyle{ a _{n+1}=(n+1) ^{2}+1}\)

\(\displaystyle{ a _{n+1}=n ^{2}+2n+2}\)

\(\displaystyle{ a _{n+1}-a _{n}=n ^{2}-2n+2-n ^{2}-1=2n+1}\)

Czyli ciąg nie jest arytmetyczny

[woznyadam]

2) \(\displaystyle{ a _{n+1} = \frac{3(n+1)-1}{2}= \frac{3n+3-1}{2}= \frac{3n+2}{2}}\)

dlaczego jest 3(n+1)-1?-- 8 marca 2009, 19:51 --

\(\displaystyle{ a _{n+1}=(n+1) ^{2}+1}\)

dlaczego tutaj jest kwadrat?

[slaweu]

dlaczego jest \(\displaystyle{ 3(n+1)-1}\)?

dlaczego tutaj jest kwadrat?

Ponieważ, gdy chcemy uzyskać wyraz kolejny ciągu w miejsca gdzie widnieje \(\displaystyle{ n}\) wstawiamy wyrażenie \(\displaystyle{ (n+1)}\)

[woznyadam]

Dzięki za pomoc