c. geometryczny - maturalne

[Mała_Czarna]

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ (b _{n})}\) są dodatnie i spełniony jest warunek:
\(\displaystyle{ 2b_{1} - b _{2} = (b _{1} )^{2} +(b _{2}) ^{2}}\)
wyznacz iloraz tego ciągu tak aby suma jego 4 pierwszych wyrazów była największa. oblicz te sumę

[bosa_Nike]

Z podanego warunku oraz faktu, że \(\displaystyle{ \frac{b_2}{b_1}=q}\) jest:

\(\displaystyle{ \frac{2b_1-b_2}{b_1^2}=\frac{b_1^2+b_2^2}{b_1^2}\ \Rightarrow\ b_1=\frac{2-q}{1+q^2}}\)

Mamy więc zmaksymalizować \(\displaystyle{ S_4=\frac{1-q^4}{1-q}\cdot\frac{2-q}{1+q^2}=(1+q)(2-q)}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ S_4=-\left(q^2-q-2\right)=-\left(\left(q-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right)=\frac{9}{4}-\left(q-\frac{1}{2}\right)^2}\), to mamy odpowiedź.

[Mała_Czarna]

Z podanego warunku oraz faktu, że \(\displaystyle{ \frac{b_2}{b_1}=q}\) jest:

\(\displaystyle{ \frac{2b_1-b_2}{b_1^2}=\frac{b_1^2+b_2^2}{b_1^2}\ \Rightarrow\ b_1=\frac{2-q}{1+q^2}}\)

możesz mi to wytłumaczyć, bo nie za bardzo rozumiem skąd to się wzięło

[bosa_Nike]

Ciąg jest geometryczny, więc \(\displaystyle{ \frac{b_{i+1}}{b_i}=\mbox{const}=q}\) - to chyba jasne.

Wiedząc, że wyrazy są dodatnie (w szczególości niezerowe) dzielę obie strony warunku przez \(\displaystyle{ b_1^2}\) i otrzymuję:

\(\displaystyle{ \frac{2b_1-b_2}{b_1^2}=\frac{b_1^2+b_2^2}{b_1^2}\ \Rightarrow\ \frac{1}{b_1}\cdot\left(\frac{2b_1}{b_1}-\frac{b_2}{b_1}\right)=\frac{b_1^2}{b_1^2}+\frac{b_2^2}{b_1^2}\ \Rightarrow\ \frac{1}{b_1}\cdot (2-q)=1+q^2}\)