Dla podanego odwzorowania sprawdź czy jest liniowe. Jeśli tak to określ jądro, obraz i własności odwzorowania.
\(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{2}\quad f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}-x_{2},x_{3})}\).
Mam kilkanaście podobnych zadań do zrobienia i chciałbym zobaczyć choć jedno porządnie rozwiązane, żeby mieć pewność że wiem jak się do nich zabrać.
odwzorowanie liniowe
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2285
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
odwzorowanie liniowe
napisz twoją propozycję rozwiązania tego zadania, a później możemy dyskutować co do słuszności tego rozwiązania. Proponuje wyjść od
\(\displaystyle{ \forall \ x,y\in\mathbb{R}^3 \quad f(x+y)=f(x)+f(y)\\
\forall k\in\mathbb{R}\quad f(kx)=kf(x)}\)
\(\displaystyle{ \forall \ x,y\in\mathbb{R}^3 \quad f(x+y)=f(x)+f(y)\\
\forall k\in\mathbb{R}\quad f(kx)=kf(x)}\)
-
azedor
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 19 mar 2007, o 22:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 11 razy
odwzorowanie liniowe
Więc ja to rozwiązuje tak:
1. Sprawdzenie liniowości, czyli tych dwóch warunków. Ta część akurat jest prosta i nie mam z nią problemów.
2. Wyznaczenie jądra, czyli rozwiązanie równania \(\displaystyle{ f(x)=0}\). W tym wypadku wychodzą wektory postaci \(\displaystyle{ (\alpha,\alpha,0)\ \alpha\in\mathbb{R}}\).
Ogólna idea pewnie jest taka, że rozwiązujemy zwykły układ równań.
3. Wyznaczenie obrazu. I tego za bardzo nie rozumie. Bo mi się wydaje że mógłbym po prostu napisać, że obrazem jest zbiór \(\displaystyle{ \{(x_{1}-x_{2},x_{3}): x_{1},x_{2},x_{3}\in\mathbb{R}\}}\). Ja tutaj wielkiej filozofii nie widzę, wziąść i skopiowac kawałek wzoru
4. Wyznaczyć własciwości rozwiązania.
Tego polecenia nie rozumie w ogóle. Być może chodziło o sprawdzenie czy jest liniowe. Bo o cóż innego chodzić może ?
1. Sprawdzenie liniowości, czyli tych dwóch warunków. Ta część akurat jest prosta i nie mam z nią problemów.
2. Wyznaczenie jądra, czyli rozwiązanie równania \(\displaystyle{ f(x)=0}\). W tym wypadku wychodzą wektory postaci \(\displaystyle{ (\alpha,\alpha,0)\ \alpha\in\mathbb{R}}\).
Ogólna idea pewnie jest taka, że rozwiązujemy zwykły układ równań.
3. Wyznaczenie obrazu. I tego za bardzo nie rozumie. Bo mi się wydaje że mógłbym po prostu napisać, że obrazem jest zbiór \(\displaystyle{ \{(x_{1}-x_{2},x_{3}): x_{1},x_{2},x_{3}\in\mathbb{R}\}}\). Ja tutaj wielkiej filozofii nie widzę, wziąść i skopiowac kawałek wzoru
4. Wyznaczyć własciwości rozwiązania.
Tego polecenia nie rozumie w ogóle. Być może chodziło o sprawdzenie czy jest liniowe. Bo o cóż innego chodzić może ?